Номер 6, страница 68 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

6. На доске изображена часть треугольника $ABC$ (рис. 134), где вершина $C$ недоступна. На стороне $AB$ отмечена середина $M$. При помощи циркуля и линейки нужно построить часть медианы $CM$, которая помещается на доске.

Выполните это задание, используя свойство центральной симметрии параллелограмма.

Рис. 134

Для решения этой задачи воспользуемся свойством центральной симметрии параллелограмма. Основная идея заключается в том, чтобы мысленно достроить треугольник $ABC$ до параллелограмма $ACBD$. В таком параллелограмме диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. По условию, точка $M$ является серединой стороны $AB$. Следовательно, точка $M$ будет являться центром параллелограмма и серединой второй диагонали $CD$. Это означает, что точки $C, M, D$ лежат на одной прямой, а отрезок $MD$ является продолжением медианы $CM$.

Таким образом, задача сводится к построению точки $D$ — четвертой вершины параллелограмма $ACBD$. Точка $D$ является точкой пересечения двух прямых: прямой, проходящей через $A$ и параллельной $BC$, и прямой, проходящей через $B$ и параллельной $AC$.

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки в следующем порядке:

1. Построение прямой через точку $B$, параллельной прямой $AC$.
   • Выберем на видимой части луча $AC$ произвольную точку $P$.
   • С помощью циркуля и линейки построим прямую, проходящую через точку $B$ и параллельную прямой $AP$ (то есть прямой $AC$). Один из стандартных способов — построение параллелограмма $AC'BB'$ или копирование угла $PAB$ к вершине $B$.
2. Построение прямой через точку $A$, параллельной прямой $BC$.
   • Аналогично первому шагу, выберем на видимой части луча $BC$ произвольную точку $Q$.
   • Построим прямую, проходящую через точку $A$ и параллельную прямой $BQ$ (то есть прямой $BC$).
3. Нахождение искомого отрезка медианы.
   • Точку пересечения двух построенных параллельных прямых обозначим как $D$.
   • Соединим точку $M$ с точкой $D$ с помощью линейки.

Доказательство: По построению мы получили четырехугольник $ACBD$, в котором $BD \parallel AC$ и $AD \parallel BC$. Следовательно, $ACBD$ — параллелограмм. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке, которая является серединой каждой из них. По условию, $M$ — середина $AB$. Значит, $M$ — это точка пересечения диагоналей, и она же является серединой диагонали $CD$. Таким образом, точки $C, M, D$ лежат на одной прямой, и отрезок $MD$ является частью медианы $CM$.

Ответ: Построенный отрезок $MD$ является искомой частью медианы $CM$.