Номер 4, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

4. Изобразите треугольник, $\triangle ABC$. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $\triangle ABC$ относительно оси, проходящей через вершину $C$.

Для решения задачи построим треугольник, симметричный данному треугольнику $ABC$ относительно оси, которая проходит через его вершину $C$. Осевая симметрия — это геометрическое преобразование, при котором каждая точка фигуры преобразуется в точку, симметричную ей относительно заданной оси (прямой).

Алгоритм построения:

1. Начертим произвольный треугольник $ABC$.
2. Проведем произвольную прямую $l$, проходящую через вершину $C$. Эта прямая будет нашей осью симметрии.
3. Построим точку $A'$, симметричную вершине $A$ относительно оси $l$. Для этого:
   • Из точки $A$ опустим перпендикуляр $AH_A$ на прямую $l$.
   • На продолжении этого перпендикуляра за точку $H_A$ отложим отрезок $H_A A'$, равный отрезку $AH_A$.
   • Точка $A'$ будет симметрична точке $A$ относительно оси $l$.
4. Аналогично построим точку $B'$, симметричную вершине $B$ относительно оси $l$.
   • Из точки $B$ опустим перпендикуляр $BH_B$ на прямую $l$.
   • На продолжении этого перпендикуляра за точку $H_B$ отложим отрезок $H_B B'$, равный отрезку $BH_B$.
   • Точка $B'$ будет симметрична точке $B$ относительно оси $l$.
5. Найдем образ вершины $C$. Поскольку точка $C$ лежит на оси симметрии $l$, она отображается сама на себя, то есть точка $C'$ совпадает с точкой $C$ ($C' = C$).
6. Соединим точки $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками. Полученный треугольник $A'B'C'$ и будет искомым треугольником, симметричным $\triangle ABC$ относительно оси $l$.

Ниже представлен графический пример такого построения, где в качестве оси $l$ выбрана вертикальная прямая, проходящая через точку $C$.

Ответ: Треугольник, симметричный $\triangle ABC$ относительно оси $l$, проходящей через вершину $C$, строится путем нахождения точек $A'$ и $B'$, симметричных соответственно точкам $A$ и $B$ относительно оси $l$, и соединения точек $A'$, $B'$ и $C$. Вершина $C$ при этом отображается сама на себя ($C' = C$). Искомый треугольник — это $\triangle A'B'C'$.