Тест 2, страница 73 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

$M$ и $K$ — середины сторон $AC$ и $AB$. Найдите $\angle A$.

Поскольку точки $M$ и $K$ являются серединами сторон $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно, отрезок $KM$ является его средней линией.

Основное свойство средней линии треугольника заключается в том, что она параллельна третьей стороне. В данном случае, средняя линия $KM$ параллельна стороне $BC$. Запишем это как $KM \parallel BC$.

Углы $\angle AMK$ и $\angle KMC$ являются смежными, так как они вместе лежат на прямой $AC$ и имеют общую вершину $M$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.$$ \angle AMK + \angle KMC = 180^\circ $$Из условия нам известно, что $\angle KMC = 126^\circ$. Мы можем найти величину угла $\angle AMK$:$$ \angle AMK = 180^\circ - \angle KMC = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ $$

Теперь рассмотрим параллельные прямые $KM$ и $BC$ и секущую $AC$, которая их пересекает. Углы $\angle AMK$ и $\angle C$ (или $\angle BCA$) являются соответственными углами. При пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны.$$ \angle C = \angle AMK = 54^\circ $$

Теперь у нас есть два известных угла в треугольнике $ABC$: $\angle B = 92^\circ$ (из условия) и $\angle C = 54^\circ$ (как мы только что нашли). Сумма всех углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.$$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $$Подставим известные значения и найдем искомый угол $\angle A$:$$ \angle A + 92^\circ + 54^\circ = 180^\circ $$$$ \angle A + 146^\circ = 180^\circ $$$$ \angle A = 180^\circ - 146^\circ $$$$ \angle A = 34^\circ $$

Ответ: $34^\circ$