Номер 3, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

3. ABCD — ромб. Найдите его периметр.

а) $ \angle OBD = 60^\circ $, $ OD = 8 $

б) $ BO = 7 $, $ \angle DAO = 30^\circ $

в) $ OC = 10 $, $ \angle DAB = 120^\circ $

а)
Поскольку ABCD — ромб, его диагонали являются биссектрисами его углов. Из условия известно, что $ \angle CBO = 60^\circ $. Следовательно, полный угол при вершине B, $ \angle ABC = 2 \times \angle CBO = 2 \times 60^\circ = 120^\circ $.
Сумма соседних углов в ромбе равна $ 180^\circ $, поэтому $ \angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.
Рассмотрим треугольник $ \triangle BCD $. Так как все стороны ромба равны, $ BC = CD $, значит, $ \triangle BCD $ — равнобедренный. Равнобедренный треугольник с углом при вершине $ 60^\circ $ является равносторонним. Таким образом, все его стороны равны: $ BC = CD = BD $.
Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, поэтому $ BD = 2 \times OD $. По условию $ OD = 8 $, значит $ BD = 2 \times 8 = 16 $.
Так как $ \triangle BCD $ равносторонний, сторона ромба $ BC $ равна диагонали $ BD $, то есть $ BC = 16 $.
Периметр ромба равен $ P = 4 \times BC = 4 \times 16 = 64 $.
Ответ: 64

б)
В ромбе ABCD диагонали перпендикулярны друг другу, поэтому $ \angle AOB = 90^\circ $. Таким образом, треугольник $ \triangle AOB $ является прямоугольным.
Диагонали также являются биссектрисами углов ромба. Из условия дано, что $ \angle OAD = 30^\circ $. Этот угол является частью угла $ \angle DAB $, поэтому $ \angle OAB = 30^\circ $.
В прямоугольном треугольнике $ \triangle AOB $ катет $ BO $ лежит напротив угла $ \angle OAB $ в $ 30^\circ $. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $ 30^\circ $, равен половине гипотенузы.
Следовательно, $ BO = \frac{1}{2} AB $. Нам дано, что $ BO = 7 $.
Подставим значение: $ 7 = \frac{1}{2} AB $. Отсюда находим сторону ромба $ AB = 2 \times 7 = 14 $.
Периметр ромба равен $ P = 4 \times AB = 4 \times 14 = 56 $.
Ответ: 56

в)
По условию, в ромбе ABCD угол $ \angle DAB = 120^\circ $. Сумма соседних углов в ромбе равна $ 180^\circ $, поэтому $ \angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.
Рассмотрим треугольник $ \triangle ABC $. Так как стороны ромба равны ($ AB = BC $), этот треугольник — равнобедренный. Поскольку угол при вершине $ \angle ABC $ равен $ 60^\circ $, треугольник $ \triangle ABC $ является равносторонним. Это означает, что $ AB = BC = AC $.
Диагонали ромба в точке пересечения $ O $ делятся пополам. Следовательно, $ AC = 2 \times OC $. По условию $ OC = 10 $.
Тогда диагональ $ AC = 2 \times 10 = 20 $.
Так как $ \triangle ABC $ равносторонний, сторона ромба $ AB $ равна диагонали $ AC $. Значит, сторона ромба $ AB = 20 $.
Периметр ромба равен $ P = 4 \times AB = 4 \times 20 = 80 $.
Ответ: 80