Номер 156, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

156. На рисунках 152, а)–в) изображены фигуры, которые получены из квадратов, у которых вырезали какую-то часть. По указанным размерам найдите площадь оставшейся части каждого квадрата (все размеры даны в сантиметрах).

а) $10$, $3$, $6$

б) $6$, $24$, $9$

в) $3$, $5$, $3$, $2$, $1$

Рис. 152

а)

Фигура представляет собой большой квадрат, из которого вырезали маленький прямоугольник. Чтобы найти площадь оставшейся (закрашенной) части, нужно из площади большого квадрата вычесть площадь вырезанного прямоугольника.

1. Найдем площадь большого квадрата. Его сторона равна 10 см.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – сторона квадрата.

$S_{квадрата} = 10 \times 10 = 100$ см².

2. Найдем площадь вырезанного прямоугольника. Его стороны равны 6 см и 3 см.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \times b$, где $a$ и $b$ – его стороны.

$S_{прямоугольника} = 6 \times 3 = 18$ см².

3. Найдем площадь оставшейся части.

$S_{фигуры} = S_{квадрата} - S_{прямоугольника} = 100 - 18 = 82$ см².

Ответ: 82 см².

б)

Фигура получена из квадрата, от которого отрезали прямоугольник в правом верхнем углу. Сначала определим размеры исходного квадрата.

1. Максимальная ширина фигуры (нижняя сторона) равна 24 см. Так как исходная фигура — квадрат, то все его стороны равны. Следовательно, сторона исходного квадрата была 24 см.

Площадь исходного квадрата:

$S_{квадрата} = 24 \times 24 = 576$ см².

2. Теперь найдем размеры вырезанного прямоугольника. Его ширина равна разности стороны квадрата и длины оставшейся верхней части: $24 - 6 = 18$ см. Его высота равна разности стороны квадрата и длины оставшейся правой части: $24 - 9 = 15$ см.

3. Найдем площадь вырезанного прямоугольника.

$S_{вырезанного} = 18 \times 15 = 270$ см².

4. Чтобы найти площадь оставшейся фигуры, вычтем из площади квадрата площадь вырезанного прямоугольника.

$S_{фигуры} = S_{квадрата} - S_{вырезанного} = 576 - 270 = 306$ см².

Ответ: 306 см².

в)

Фигура получена из квадрата, у которого вырезали две части: прямоугольник снизу и треугольник в левом верхнем углу. Найдем площадь, вычитая площади вырезанных частей из площади исходного квадрата.

1. Определим сторону исходного квадрата. Максимальная высота фигуры задана длиной правой стороны и равна 5 см. Значит, исходный квадрат имел сторону 5 см.

Площадь исходного квадрата:

$S_{квадрата} = 5 \times 5 = 25$ см².

2. Найдем площадь первой вырезанной части — прямоугольника в нижней части фигуры. Его размеры 2 см на 1 см.

$S_{выр. прям.} = 2 \times 1 = 2$ см².

3. Найдем площадь второй вырезанной части — прямоугольного треугольника в левом верхнем углу. Его катеты (стороны, образующие прямой угол) равны разности между стороной квадрата и соответствующими сторонами оставшейся фигуры.

Горизонтальный катет: $5 \text{ см (сторона квадрата)} - 3 \text{ см (верхняя сторона)} = 2$ см.

Вертикальный катет: $5 \text{ см (сторона квадрата)} - 3 \text{ см (левая сторона)} = 2$ см.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ – его катеты.

$S_{выр. тр.} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ см².

4. Чтобы найти площадь оставшейся фигуры, вычтем из площади исходного квадрата площади обеих вырезанных частей.

$S_{фигуры} = S_{квадрата} - S_{выр. прям.} - S_{выр. тр.} = 25 - 2 - 2 = 21$ см².

Ответ: 21 см².