Номер 161, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

161. В прямоугольнике $ABCD$ проведены отрезки $MK \parallel AD$, $NP \parallel AB$ (рис. 154).

Докажите, что площадь четырехугольника $MNKP$ равна $\frac{1}{2}$ площади прямоугольника $ABCD$.

Рис. 154

Для доказательства утверждения задачи воспользуемся методом разбиения на части. Условие задачи, несмотря на возможную неоднозначность формулировки, наиболее логично трактовать следующим образом: точки M, N, K, P расположены на сторонах прямоугольника ABCD, а отрезки MK и NP, упомянутые в условии, являются диагоналями четырехугольника MNKP.

Дано:

• ABCD — прямоугольник.
• Точка M лежит на стороне AB.
• Точка N лежит на стороне BC.
• Точка K лежит на стороне CD.
• Точка P лежит на стороне AD.
• В четырехугольнике MNKP диагональ $MK \parallel AD$.
• В четырехугольнике MNKP диагональ $NP \parallel AB$.

Доказать:

$S_{MNKP} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

Доказательство:

1. Пусть O — точка пересечения диагоналей MK и NP. Так как по условию $MK \parallel AD$ и $NP \parallel AB$, а в прямоугольнике $AB \perp AD$, то диагонали четырехугольника MNKP взаимно перпендикулярны: $MK \perp NP$.

2. Проведем через точку O прямые, параллельные сторонам прямоугольника ABCD. Это и будут прямые, содержащие отрезки MK и NP. Эти две перпендикулярные прямые разбивают исходный прямоугольник ABCD на четыре меньших прямоугольника. Обозначим их вершины:

• Прямоугольник AMOP, где O — вершина, противоположная A.
• Прямоугольник MBNO, где O — вершина, противоположная B.
• Прямоугольник ONCK, где O — вершина, противоположная C.
• Прямоугольник POKD, где O — вершина, противоположная D.

Сумма площадей этих четырех прямоугольников равна площади исходного прямоугольника ABCD: $S_{ABCD} = S_{AMOP} + S_{MBNO} + S_{ONCK} + S_{POKD}$

3. Площадь четырехугольника MNKP можно представить как сумму площадей четырех треугольников, на которые его разбивают диагонали: $\triangle POM$, $\triangle MON$, $\triangle NOK$ и $\triangle KOP$. $S_{MNKP} = S_{\triangle POM} + S_{\triangle MON} + S_{\triangle NOK} + S_{\triangle KOP}$

4. Рассмотрим каждый из этих треугольников. В каждом из четырех малых прямоугольников одна из сторон четырехугольника MNKP является диагональю:

• В прямоугольнике AMOP отрезок PM является диагональю. Диагональ делит прямоугольник на два равных по площади треугольника. Следовательно, $S_{\triangle POM} = \frac{1}{2} S_{AMOP}$.
• В прямоугольнике MBNO отрезок MN является диагональю. Следовательно, $S_{\triangle MON} = \frac{1}{2} S_{MBNO}$.
• В прямоугольнике ONCK отрезок NK является диагональю. Следовательно, $S_{\triangle NOK} = \frac{1}{2} S_{ONCK}$.
• В прямоугольнике POKD отрезок KP является диагональю. Следовательно, $S_{\triangle KOP} = \frac{1}{2} S_{POKD}$.

5. Теперь найдем площадь четырехугольника MNKP, подставив выражения для площадей треугольников: $S_{MNKP} = \frac{1}{2} S_{AMOP} + \frac{1}{2} S_{MBNO} + \frac{1}{2} S_{ONCK} + \frac{1}{2} S_{POKD}$

6. Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $S_{MNKP} = \frac{1}{2} (S_{AMOP} + S_{MBNO} + S_{ONCK} + S_{POKD})$

7. Сумма в скобках, как показано в пункте 2, равна площади всего прямоугольника ABCD. Таким образом, получаем: $S_{MNKP} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь четырехугольника MNKP, построенного согласно условиям, действительно равна половине площади прямоугольника ABCD.