Номер 164, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

164. На координатной плоскости дан прямоугольник $ABCD$, где $A(-3; -2)$, $C(4; 3)$, $D(4; -2)$. Найдите площадь этого прямоугольника, если единичный отрезок равен $1$ см.

Для того чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо знать длины его смежных сторон. Площадь вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ - длины смежных сторон.

В задаче даны координаты трех вершин прямоугольника $ABCD$: $A(-3; -2)$, $C(4; 3)$ и $D(4; -2)$. Найдем длины смежных сторон, например, $AD$ и $CD$, которые имеют общую вершину $D$.

1. Найдем длину стороны $AD$.

Вершины $A$ и $D$ имеют координаты $A(-3; -2)$ и $D(4; -2)$. Поскольку у этих точек одинаковая координата $y$ ($y=-2$), сторона $AD$ параллельна оси абсцисс ($Ox$). Длина такого отрезка равна модулю разности их координат $x$:

$|AD| = |x_D - x_A| = |4 - (-3)| = |4 + 3| = 7$.

2. Найдем длину стороны $CD$.

Вершины $C$ и $D$ имеют координаты $C(4; 3)$ и $D(4; -2)$. Поскольку у этих точек одинаковая координата $x$ ($x=4$), сторона $CD$ параллельна оси ординат ($Oy$). Длина такого отрезка равна модулю разности их координат $y$:

$|CD| = |y_C - y_D| = |3 - (-2)| = |3 + 2| = 5$.

Поскольку одна сторона прямоугольника параллельна оси $Ox$, а другая - оси $Oy$, они перпендикулярны. Таким образом, $AD$ и $CD$ - это длина и ширина прямоугольника.

3. Вычислим площадь прямоугольника.

По условию единичный отрезок равен 1 см, значит, длины сторон равны $AD = 7$ см и $CD = 5$ см. Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон:

$S_{ABCD} = |AD| \cdot |CD| = 7 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 35 \text{ см}^2$.

Ответ: $35 \text{ см}^2$.