Номер 163, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

163. Площадь прямоугольника равна $48 \text{ см}^2$. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в серединах сторон этого прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$. Площадь прямоугольника ($S_{прямоуг.}$) вычисляется как произведение его сторон:

$S_{прямоуг.} = a \cdot b$

Согласно условию задачи, площадь прямоугольника равна 48 см²:

$a \cdot b = 48 \text{ см}^2$

Теперь рассмотрим четырехугольник, который образуется при соединении середин сторон данного прямоугольника. Такой четырехугольник всегда является ромбом. Его диагонали параллельны сторонам исходного прямоугольника и равны им по длине.

Пусть диагонали ромба будут $d_1$ и $d_2$. Тогда:

$d_1 = a$

$d_2 = b$

Площадь ромба ($S_{ромба}$) можно найти по формуле через его диагонали:

$S_{ромба} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$

Подставим значения длин диагоналей в формулу площади искомого четырехугольника ($S_{четыр.}$):

$S_{четыр.} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Поскольку мы знаем, что произведение $a \cdot b$ равно площади исходного прямоугольника, то есть 48 см², мы можем вычислить площадь четырехугольника:

$S_{четыр.} = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24 \text{ см}^2$

Таким образом, площадь четырехугольника, образованного серединами сторон прямоугольника, ровно в два раза меньше площади самого прямоугольника.

Ответ: 24 см².