Номер 158, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

158. Дан прямоугольник $ABCD$. Сторону $AD$ продлили за точку $D$ на отрезок $DK$, равный стороне $AD$. Объясните, почему:

a) треугольник $ACK$ равновелик прямоугольнику $ABCD$;

б) треугольник $ABK$ равновелик прямоугольнику $ABCD$.

а) треугольник ACK равновелик прямоугольнику ABCD;

Площадь прямоугольника $ABCD$ определяется формулой $S_{ABCD} = AD \cdot CD$. Для нахождения площади треугольника $ACK$ воспользуемся формулой $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания треугольника $ACK$ выберем сторону $AK$. Согласно условию, отрезок $DK$ является продолжением стороны $AD$ и $DK = AD$. Следовательно, длина основания $AK = AD + DK = AD + AD = 2 \cdot AD$. Высотой, проведенной к основанию $AK$ из вершины $C$, является перпендикуляр из точки $C$ на прямую $AK$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его сторона $CD$ перпендикулярна стороне $AD$, а значит и всей прямой, на которой лежат точки $A$, $D$, $K$. Таким образом, высота треугольника $ACK$ равна длине стороны $CD$. Теперь вычислим площадь треугольника $ACK$: $S_{ACK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot AD) \cdot CD = AD \cdot CD$. Мы видим, что $S_{ACK} = S_{ABCD}$, следовательно, треугольник $ACK$ равновелик прямоугольнику $ABCD$.

Ответ: Треугольник $ACK$ равновелик прямоугольнику $ABCD$, так как их площади равны: $S_{ACK} = AD \cdot CD = S_{ABCD}$.

б) треугольник ABK равновелик прямоугольнику ABCD.

Рассмотрим треугольник $ABK$. В прямоугольнике $ABCD$ все углы прямые, поэтому угол $\angle DAB = 90^\circ$. Точки $A$, $D$ и $K$ лежат на одной прямой, следовательно, угол $\angle BAK$ совпадает с углом $\angle DAB$ и также равен $90^\circ$. Это означает, что треугольник $ABK$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $A$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. В данном случае катеты — это $AB$ и $AK$. $S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AK$. Из свойств прямоугольника известно, что длина стороны $AB$ равна длине стороны $CD$. Длину катета $AK$ мы уже нашли в предыдущем пункте: $AK = 2 \cdot AD$. Подставим известные значения в формулу площади: $S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot (2 \cdot AD) = AD \cdot CD$. Площадь прямоугольника $ABCD$ также равна $S_{ABCD} = AD \cdot CD$. Таким образом, $S_{ABK} = S_{ABCD}$, что и доказывает, что треугольник $ABK$ равновелик прямоугольнику $ABCD$.

Ответ: Треугольник $ABK$ равновелик прямоугольнику $ABCD$, так как их площади равны: $S_{ABK} = AD \cdot CD = S_{ABCD}$.