Номер 5, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

5. $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$. Найдите:

а) $P_{ABC}$;

б) $P_{ABC}$, если $P_{ABKM} = 28$;

в) $P_{KBCM}$, если $P_{AKM} = 18$.

а) $P_{ABC}$

По условию, $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$. Согласно рисунку (а), точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $K$ — на стороне $BC$. Это означает, что $M$ и $K$ являются серединами этих сторон.

Так как $M$ — середина стороны $AB$, то длина стороны $AB$ вдвое больше длины отрезка $BM$:

$AB = 2 \times BM = 2 \times 9 = 18$.

Так как $K$ — середина стороны $BC$, то длина стороны $BC$ вдвое больше длины отрезка $BK$:

$BC = 2 \times BK = 2 \times 7 = 14$.

На рисунке также показана точка $N$ — середина стороны $AC$ (обозначено штрихами), и дан отрезок $AN = 8$. Следовательно, длина стороны $AC$ равна:

$AC = 2 \times AN = 2 \times 8 = 16$.

Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 18 + 14 + 16 = 48$.

Ответ: 48.

б) $P_{ABC}$, если $P_{ABKM} = 28$

Согласно рисунку (б), $MK$ — средняя линия, соединяющая середины сторон $AC$ (точка $M$) и $BC$ (точка $K$). Длина средней линии дана: $MK = 6$.

По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне ($AB$) и равна её половине. Отсюда находим длину стороны $AB$:

$AB = 2 \times MK = 2 \times 6 = 12$.

Дан периметр четырёхугольника $ABKM$, который равен $P_{ABKM} = AB + BK + KM + MA = 28$.

Поскольку $M$ — середина $AC$ и $K$ — середина $BC$, то $MA = \frac{1}{2}AC$ и $BK = \frac{1}{2}BC$.

Подставим известные значения в формулу периметра $P_{ABKM}$:

$12 + \frac{1}{2}BC + 6 + \frac{1}{2}AC = 28$.

Упростим выражение:

$18 + \frac{1}{2}(BC + AC) = 28$.

Найдем сумму сторон $BC$ и $AC$:

$\frac{1}{2}(BC + AC) = 28 - 18 = 10$.

$BC + AC = 2 \times 10 = 20$.

Теперь можем найти периметр треугольника $ABC$:

$P_{ABC} = AB + (BC + AC) = 12 + 20 = 32$.

Ответ: 32.

в) $P_{KBCM}$, если $P_{AKM} = 18$

Из рисунка (в) видно, что $MK$ — средняя линия, соединяющая середины сторон $AB$ (точка $K$) и $AC$ (точка $M$). Дана длина стороны $BC = 10$.

По свойству средней линии, $MK$ параллельна $BC$ и равна её половине:

$MK = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$.

Фигура $KBCM$ является трапецией, так как $MK \parallel BC$.

Дан периметр треугольника $AKM$: $P_{AKM} = AK + KM + MA = 18$.

Подставив известную длину $KM$, найдем сумму отрезков $AK$ и $MA$:

$AK + 5 + MA = 18$.

$AK + MA = 18 - 5 = 13$.

Нам нужно найти периметр трапеции $KBCM$: $P_{KBCM} = KB + BC + CM + MK$.

Так как $K$ — середина $AB$, то $KB = AK$.

Так как $M$ — середина $AC$, то $CM = MA$.

Следовательно, сумма боковых сторон трапеции $KB + CM$ равна $AK + MA$:

$KB + CM = AK + MA = 13$.

Теперь вычислим периметр трапеции, подставив все найденные значения:

$P_{KBCM} = (KB + CM) + BC + MK = 13 + 10 + 5 = 28$.

Ответ: 28.