Номер 2, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

2. $ABCD$ — прямоугольник. Найдите:

а) $P_{COD}$, если $AO = 5$, $CD = 4$;

б) $P_{AOD}$, если $BD = 15$, $AD = 12$;

в) $AD$, если $P_{AOB} = 25$, $P_{ACD} = 40$.

а)

Для нахождения периметра треугольника $COD$ ($P_{COD}$) необходимо сложить длины его сторон: $P_{COD} = CO + OD + CD$.

В прямоугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Это означает, что $AO = BO = CO = OD$.

Из условия на рисунке а) нам известно, что $AO = 5$. Следовательно, $CO = 5$ и $OD = 5$.

Также из условия на рисунке нам дана длина стороны $CD = 4$.

Теперь мы можем вычислить периметр:

$P_{COD} = CO + OD + CD = 5 + 5 + 4 = 14$.

Ответ: 14.

б)

Периметр треугольника $AOD$ ($P_{AOD}$) равен сумме длин его сторон: $P_{AOD} = AO + OD + AD$.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Таким образом, отрезки $AO$ и $OD$ являются половинами диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Так как $AC=BD$, то $AO = OD = \frac{1}{2}BD$.

По условию задачи, длина диагонали $BD = 15$. Значит:

$AO = OD = \frac{15}{2} = 7.5$.

Из условия на рисунке б) нам известна длина стороны $AD = 12$.

Вычисляем периметр треугольника $AOD$:

$P_{AOD} = AO + OD + AD = 7.5 + 7.5 + 12 = 15 + 12 = 27$.

Ответ: 27.

в)

По условию нам даны периметры двух треугольников:

1. Периметр треугольника $AOB$: $P_{AOB} = AO + OB + AB = 25$.

2. Периметр треугольника $ACD$: $P_{ACD} = AC + CD + AD = 40$.

Воспользуемся свойствами прямоугольника:

• Противоположные стороны равны: $AB = CD$.
• Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: $AO = OB$ и $AC = 2 \cdot AO$.

Перепишем выражение для периметра $P_{AOB}$, используя свойство $AO=OB$:

$P_{AOB} = AO + AO + AB = 2 \cdot AO + AB = 25$.

Теперь преобразуем выражение для периметра $P_{ACD}$, используя свойства $AC=2 \cdot AO$ и $CD=AB$:

$P_{ACD} = (2 \cdot AO) + AB + AD = 40$.

Мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} 2 \cdot AO + AB = 25 \\ (2 \cdot AO + AB) + AD = 40 \end{cases}$

Мы видим, что левая часть первого уравнения является частью левой части второго уравнения. Подставим значение $2 \cdot AO + AB$ из первого уравнения во второе:

$25 + AD = 40$.

Отсюда легко найти $AD$:

$AD = 40 - 25 = 15$.

Ответ: 15.