Номер 4, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

4. Найдите среднюю линию трапеции ABCD.

а) Трапеция ABCD. $BC = 6$. $AD = 10$. На основании $AD$ расположена точка $K$. $\angle A = \angle AKC$.

б) Трапеция ABCD. На основании $AD$ расположены точки $K$ и $M$. $KM = 4$. $MD = 5$.

в) Трапеция ABCD. $AB = CD$. На основании $AD$ расположены точки $K$ и $M$. $AK = 5$. $MD = 3$. $CM \perp AD$. $\angle KAC = \angle ACK$.

а)

По условию, дана трапеция ABCD, в которой основания $BC \parallel AD$. Известно, что $BC=6$, $KD=10$ и $\angle DAB = \angle CKA$.

1. Проведем через вершину C прямую, параллельную боковой стороне AB, которая пересечет основание AD в точке E.

2. Полученная фигура ABCE является параллелограммом, так как ее противолежащие стороны попарно параллельны ($AB \parallel CE$ по построению, $BC \parallel AE$ так как это основания трапеции).

3. В параллелограмме противолежащие углы равны, следовательно, $\angle BAE = \angle BCE$.

4. Так как $BC \parallel AD$, углы $\angle BCE$ и $\angle CEA$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых BC и AD и секущей CE. Следовательно, $\angle BCE = \angle CEA$.

5. Из условия задачи мы знаем, что $\angle DAB = \angle CKA$. Угол $\angle DAB$ — это тот же угол, что и $\angle BAE$.

6. Объединяя равенства из пунктов (3), (4) и (5), получаем: $\angle CKA = \angle BAE = \angle BCE = \angle CEA$. Отсюда следует, что $\angle CKA = \angle CEA$.

7. Поскольку точки K и E лежат на одной прямой AD, равенство углов $\angle CKA$ и $\angle CEA$ возможно только в случае, если точки K и E совпадают.

8. Если K и E совпадают, то фигура ABCK является параллелограммом. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AK = BC = 6$.

9. Теперь мы можем найти длину основания AD: $AD = AK + KD = 6 + 10 = 16$.

10. Средняя линия трапеции вычисляется по формуле $m = \frac{BC+AD}{2}$. $m = \frac{6+16}{2} = \frac{22}{2} = 11$.

Ответ: 11

б)

По условию, в трапеции ABCD проведены биссектрисы BK и CM углов $\angle B$ и $\angle C$ соответственно. Точки K и M лежат на основании AD. Известны длины отрезков $KM=4$ и $MD=5$.

1. Так как BK является биссектрисой угла $\angle ABC$, то $\angle ABK = \angle CBK$.

2. Поскольку $BC \parallel AD$, углы $\angle CBK$ и $\angle AKB$ являются накрест лежащими при секущей BK. Таким образом, $\angle CBK = \angle AKB$.

3. Из этих двух равенств следует, что $\angle ABK = \angle AKB$, а значит треугольник ABK является равнобедренным с основанием BK. Следовательно, $AB = AK$.

4. Аналогично для биссектрисы CM: $\angle BCM = \angle DCM$. Углы $\angle BCM$ и $\angle CMD$ являются накрест лежащими при секущей CM, поэтому $\angle BCM = \angle CMD$.

5. Отсюда $\angle DCM = \angle CMD$, и треугольник CDM является равнобедренным с основанием CM. Следовательно, $CD = MD$.

6. По условию $MD=5$, значит $CD=5$.

7. В общем виде задача не имеет единственного решения, так как длина средней линии зависит от неизвестных сторон AB и BC. Однако, если предположить, что трапеция является прямоугольником (что является частным случаем трапеции), задача решается однозначно.

8. Пусть ABCD — прямоугольник. Тогда все его углы равны $90^\circ$. Биссектрисы углов B и C делят их на углы по $45^\circ$.

9. В прямоугольном треугольнике ABK углы при гипотенузе BK равны $45^\circ$, значит он равнобедренный и $AK=AB$. Это согласуется с выводом в п.3.

10. В прямоугольном треугольнике CDM углы при гипотенузе CM равны $45^\circ$, значит он равнобедренный и $MD=CD$. Это согласуется с выводом в п.5.

11. Таким образом, все условия задачи выполняются, если трапеция является прямоугольником.

12. В прямоугольнике $AB = CD$. Так как $CD=MD=5$, то $AB=5$.

13. Из $AB=AK$ следует, что $AK=5$.

14. Теперь находим длину основания $AD$: $AD = AK+KM+MD = 5+4+5=14$.

15. В прямоугольнике основания равны, так что $BC=AD=14$.

16. Средняя линия $m = \frac{BC+AD}{2} = \frac{14+14}{2} = 14$.

Ответ: 14

в)

По условию, дана равнобедренная трапеция ABCD ($AB=CD, \angle A = \angle D$), высота CM, отрезки $AK=5, MD=3$ и равенство углов $\angle A = \angle CKD$.

1. Так как трапеция равнобедренная, то $\angle A = \angle D$. Из условия $\angle A = \angle CKD$, следует, что $\angle D = \angle CKD$.

2. В треугольнике KCD углы при стороне KD равны, значит, $\triangle KCD$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны: $CK = CD$.

3. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle KCM$ и $\triangle DCM$ (они прямоугольные, так как CM — высота).

4. По теореме Пифагора для $\triangle KCM$: $CK^2 = KM^2 + CM^2$.

5. По теореме Пифагора для $\triangle DCM$: $CD^2 = MD^2 + CM^2$.

6. Так как мы установили, что $CK = CD$, то и $CK^2 = CD^2$. Приравнивая правые части уравнений из п.4 и п.5, получаем: $KM^2 + CM^2 = MD^2 + CM^2$. Отсюда $KM^2 = MD^2$, и, следовательно, $KM = MD$.

7. По условию $MD=3$, значит $KM=3$.

8. Теперь мы можем найти длину нижнего основания AD: $AD = AK + KM + MD = 5 + 3 + 3 = 11$.

9. Для нахождения верхнего основания BC воспользуемся свойством равнобедренной трапеции. Если опустить вторую высоту BP из вершины B на основание AD, то $AP=MD=3$.

10. Основание AD состоит из трех отрезков: $AD = AP + PM + MD$. Отрезок PM равен верхнему основанию BC. $11 = 3 + BC + 3 \implies 11 = BC + 6 \implies BC = 5$.

11. Находим среднюю линию трапеции: $m = \frac{BC+AD}{2} = \frac{5+11}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Ответ: 8