Тест 1, страница 73 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 1

$ABCD$ — параллелограмм, $M$ и $K$ — середины его сторон. Докажите, что $DKBM$ — параллелограмм.

Доказательство:

По условию, $ABCD$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма его противолежащие стороны равны и параллельны, следовательно, $AB = CD$ и $AB \parallel CD$.

Рассмотрим четырехугольник $DKBM$. Его сторона $KB$ является половиной стороны $AB$ параллелограмма $ABCD$, так как $K$ — середина $AB$. Таким образом, $KB = \frac{1}{2}AB$.

Аналогично, сторона $MD$ является половиной стороны $CD$, так как $M$ — середина $CD$. Таким образом, $MD = \frac{1}{2}CD$.

Поскольку из свойств параллелограмма $ABCD$ мы знаем, что $AB = CD$, то равны и их половины: $KB = MD$.

Сторона $KB$ лежит на прямой $AB$, а сторона $MD$ — на прямой $CD$. Так как прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), то и отрезки, лежащие на этих прямых, также параллельны: $KB \parallel MD$.

Мы установили, что в четырехугольнике $DKBM$ две противолежащие стороны, $KB$ и $MD$, равны и параллельны. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, $DKBM$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $DKBM$ является параллелограммом, так как его противолежащие стороны $KB$ и $MD$ равны ($KB = MD$) и параллельны ($KB \parallel MD$).