Номер 6, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

6. На координатной плоскости изобразите график функции $y = x + 3$. Постройте прямую, симметричную этому графику относительно оси $Ox$. Найдите формулу, задающую функцию, которая соответствует построенной прямой.

Задача решается в три этапа в соответствии с поставленными в ней вопросами.

На координатной плоскости изобразите график функции $y = x + 3$.

Данная функция является линейной вида $y = kx + b$, где $k=1$ и $b=3$. Ее график — прямая линия. Для построения прямой на координатной плоскости достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих этой прямой. Для удобства найдем точки пересечения графика с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат ($Oy$). В этой точке абсцисса $x = 0$. Подставим это значение в уравнение функции:
$y = 0 + 3 = 3$.
Следовательно, первая точка имеет координаты $(0; 3)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($Ox$). В этой точке ордината $y = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$0 = x + 3$
$x = -3$
Следовательно, вторая точка имеет координаты $(-3; 0)$.

Чтобы изобразить график, необходимо отметить на координатной плоскости точки $(0; 3)$ и $(-3; 0)$ и провести через них прямую линию.

Ответ: График функции $y = x + 3$ — это прямая, которая проходит через точки с координатами $(0; 3)$ и $(-3; 0)$.

Постройте прямую, симметричную этому графику относительно оси $Ox$.

Симметрия графика функции относительно оси абсцисс ($Ox$) означает, что каждая точка $(x; y)$ исходного графика преобразуется в точку $(x; -y)$. То есть, координата $x$ остается без изменений, а координата $y$ меняет свой знак на противоположный.

Используем точки, найденные на предыдущем шаге, для построения симметричной прямой:

1. Точка $(0; 3)$ исходного графика становится точкой $(0; -3)$ на симметричном графике.

2. Точка $(-3; 0)$ исходного графика лежит на оси $Ox$. Так как ось $Ox$ является осью симметрии, эта точка остается на своем месте, то есть ее симметричный образ — это та же точка $(-3; 0)$.

Для построения симметричной прямой нужно отметить на плоскости новые точки $(0; -3)$ и $(-3; 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: Прямая, симметричная графику $y = x + 3$ относительно оси $Ox$, проходит через точки $(0; -3)$ и $(-3; 0)$.

Найдите формулу, задающую функцию, которая соответствует построенной прямой.

Чтобы аналитически найти формулу функции, график которой симметричен графику функции $y = f(x)$ относительно оси $Ox$, необходимо в исходном уравнении заменить переменную $y$ на $-y$.

Исходное уравнение функции: $y = x + 3$.

Выполняем замену $y$ на $-y$:

$-y = x + 3$

Теперь выразим $y$ из полученного уравнения, для чего умножим обе его части на $-1$:

$(-1) \cdot (-y) = (-1) \cdot (x + 3)$

$y = -x - 3$

Это и есть искомая формула для функции, соответствующей построенной симметричной прямой. Для проверки можно подставить в нее координаты точек симметричной прямой: $(0; -3)$ и $(-3; 0)$.

Для точки $(0; -3)$: $-3 = -0 - 3$, что дает верное равенство $-3 = -3$.

Для точки $(-3; 0)$: $0 = -(-3) - 3 = 3 - 3$, что дает верное равенство $0 = 0$.

Ответ: $y = -x - 3$.