Номер 1, страница 74 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

1. ABCD — параллелограмм. Найдите угол, обозначенный знаком вопроса.

а) $35^\circ$, $25^\circ$

б) $60^\circ$, $40^\circ$

в) $120^\circ$, $90^\circ$

а) В параллелограмме ABCD противолежащие стороны параллельны, следовательно, $BC \parallel AD$. Прямая AC является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Следовательно, эти углы равны. По условию, $\angle DAC = 25^\circ$. Значит, искомый угол $\angle BCA = 25^\circ$.
Ответ: $25^\circ$.

б) Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В треугольнике ABD нам известны два угла: $\angle DAB = 60^\circ$ и $\angle ABD = 40^\circ$. Искомый угол — это $\angle BDA$. Таким образом, мы можем записать: $\angle DAB + \angle ABD + \angle BDA = 180^\circ$. Подставим известные значения: $60^\circ + 40^\circ + \angle BDA = 180^\circ$. Отсюда $100^\circ + \angle BDA = 180^\circ$, и $\angle BDA = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
Ответ: $80^\circ$.

в) В параллелограмме ABCD сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ$. По условию, $\angle ADC = 120^\circ$, значит $\angle DAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABK (поскольку BK — высота, $\angle BKA = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, $\angle KAB + \angle ABK = 90^\circ$. Так как $\angle KAB$ это тот же угол, что и $\angle DAB$, то $\angle KAB = 60^\circ$. Подставим это значение в уравнение: $60^\circ + \angle ABK = 90^\circ$. Отсюда находим искомый угол: $\angle ABK = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.