Номер 165, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

165. a) Каждую сторону квадрата увеличили в 3 раза. Определите, во сколько раз увеличилась площадь квадрата.

б) Определите, во сколько раз нужно уменьшить каждую сторону квадрата, чтобы его площадь уменьшилась в 16 раз.

а)

Пусть первоначальная сторона квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S_1$ вычисляется по формуле: $S_1 = a^2$.

Согласно условию, каждую сторону увеличили в 3 раза. Новая сторона квадрата стала равна $3a$. Новая площадь $S_2$ будет: $S_2 = (3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2$.

Чтобы определить, во сколько раз увеличилась площадь, найдем отношение новой площади $S_2$ к первоначальной площади $S_1$: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{9a^2}{a^2} = 9$.

Таким образом, площадь квадрата увеличилась в 9 раз.

Ответ: в 9 раз.

б)

Пусть первоначальная сторона квадрата равна $a$, а его площадь равна $S_1 = a^2$.

Обозначим через $k$ число, во сколько раз нужно уменьшить каждую сторону. Тогда новая сторона квадрата будет равна $\frac{a}{k}$. Площадь нового квадрата $S_2$ станет: $S_2 = \left(\frac{a}{k}\right)^2 = \frac{a^2}{k^2}$.

По условию задачи, площадь должна уменьшиться в 16 раз, то есть новая площадь $S_2$ должна быть равна $\frac{S_1}{16}$. Подставим выражение для $S_1$: $S_2 = \frac{a^2}{16}$.

Теперь приравняем два полученных выражения для новой площади $S_2$: $\frac{a^2}{k^2} = \frac{a^2}{16}$.

Из этого равенства следует, что $k^2 = 16$. Чтобы найти $k$, извлечем квадратный корень (так как речь идет об уменьшении, $k$ должно быть положительным): $k = \sqrt{16} = 4$.

Следовательно, чтобы площадь квадрата уменьшилась в 16 раз, каждую его сторону нужно уменьшить в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.