Номер 168, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

168. Два равновеликих четырехугольника $ABCD$ и $MNPK$ совместили, как показано на рисунке 156. Докажите, что сумма площадей зеленых треугольников равна сумме площадей красных треугольников.

Рис. 156

Обозначим площадь четырехугольника $ABCD$ как $S_{ABCD}$, а площадь четырехугольника $MNPK$ как $S_{MNPK}$. По условию задачи, эти четырехугольники равновеликие, то есть их площади равны:
$S_{ABCD} = S_{MNPK}$

Пусть $S_{зел}$ – это сумма площадей зеленых треугольников, а $S_{красн}$ – это сумма площадей красных треугольников. Пусть $S_{общ}$ – это площадь общей части двух четырехугольников (области их пересечения, которая на рисунке 156 закрашена светло-желтым цветом).

Площадь четырехугольника $ABCD$ складывается из суммы площадей зеленых треугольников (часть $ABCD$, не входящая в $MNPK$) и площади общей части. Таким образом, можно записать следующее равенство:
$S_{ABCD} = S_{зел} + S_{общ}$

Аналогично, площадь четырехугольника $MNPK$ складывается из суммы площадей красных треугольников (часть $MNPK$, не входящая в $ABCD$) и площади той же самой общей части. Таким образом:
$S_{MNPK} = S_{красн} + S_{общ}$

Так как по условию $S_{ABCD} = S_{MNPK}$, мы можем приравнять правые части полученных выражений:
$S_{зел} + S_{общ} = S_{красн} + S_{общ}$

Теперь, вычтем из обеих частей этого равенства площадь общей части $S_{общ}$:
$S_{зел} + S_{общ} - S_{общ} = S_{красн} + S_{общ} - S_{общ}$
$S_{зел} = S_{красн}$

Это и доказывает, что сумма площадей зеленых треугольников равна сумме площадей красных треугольников.

Ответ: Сумма площадей зеленых треугольников равна сумме площадей красных треугольников, что и требовалось доказать.