Номер 167, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

167. Прямоугольник разбит прямыми, перпендикулярными его сторонам, на четыре части (рис. 155). Площади трех частей равны 8, 10 и 12. Найдите площадь четвертой (незакрашенной) части прямоугольника.

Рис. 155

167. Пусть большой прямоугольник разделен на четыре меньших прямоугольника двумя перпендикулярными линиями. Обозначим стороны левого верхнего прямоугольника как $a$ и $b$. Тогда его площадь $S_1 = a \cdot b$. Поскольку линии разделения прямые, то у верхнего правого прямоугольника одна сторона также будет равна $b$. Обозначим вторую его сторону как $c$. Его площадь $S_2 = c \cdot b$. У нижнего левого прямоугольника одна сторона будет равна $a$. Обозначим вторую его сторону как $d$. Его площадь $S_3 = a \cdot d$. Соответственно, у нижнего правого (незакрашенного) прямоугольника стороны будут равны $c$ и $d$, а его площадь $S_4 = c \cdot d$.

Из условия задачи нам известны площади трех частей:

• $S_1 = a \cdot b = 8$
• $S_2 = c \cdot b = 12$
• $S_3 = a \cdot d = 10$

Нам нужно найти $S_4 = c \cdot d$.

Рассмотрим отношение площадей прямоугольников в верхней строке: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{c \cdot b}{a \cdot b} = \frac{c}{a}$ Подставим известные значения: $\frac{12}{8} = \frac{c}{a} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$

Теперь рассмотрим отношение площадей прямоугольников в левом столбце: $\frac{S_3}{S_1} = \frac{a \cdot d}{a \cdot b} = \frac{d}{b}$ Подставим известные значения: $\frac{10}{8} = \frac{d}{b} \Rightarrow \frac{d}{b} = \frac{5}{4}$

Для нахождения площади $S_4$ можно выразить $c$ и $d$ через $a$ и $b$: $c = \frac{3}{2}a$ $d = \frac{5}{4}b$

Теперь найдем площадь $S_4$: $S_4 = c \cdot d = (\frac{3}{2}a) \cdot (\frac{5}{4}b) = \frac{15}{8} (a \cdot b)$ Так как мы знаем, что $a \cdot b = S_1 = 8$, подставим это значение в формулу: $S_4 = \frac{15}{8} \cdot 8 = 15$

Существует и более простой способ, основанный на свойстве таких прямоугольников. Произведение площадей прямоугольников, расположенных по диагонали, равны: $S_1 \cdot S_4 = (a \cdot b) \cdot (c \cdot d) = abcd$ $S_2 \cdot S_3 = (c \cdot b) \cdot (a \cdot d) = abcd$ Следовательно, $S_1 \cdot S_4 = S_2 \cdot S_3$.

Подставим известные значения в это равенство: $8 \cdot S_4 = 12 \cdot 10$ $8 \cdot S_4 = 120$ $S_4 = \frac{120}{8}$ $S_4 = 15$

Ответ: 15