Номер 170, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

170. По данным на рисунках 163, а)—в) найдите площадь параллелограмма ABCD (длины отрезков даны в сантиметрах).

а) $BC = 10$

$BK = 6$

б) $AH = 4$

$HD = 3$

$\angle A = 45^\circ$

в) $AB = 8$

$AD = 12$

$\angle A = 30^\circ$

Рис. 163

а)

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h_a$, где $a$ – сторона параллелограмма, а $h_a$ – высота, проведенная к этой стороне. В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны равны, поэтому сторона $AD$ равна стороне $BC$. Из рисунка известно, что $BC = 10$ см, следовательно, $AD = 10$ см. Высота $BK$, проведенная к продолжению стороны $AD$, равна 6 см. Таким образом, площадь параллелограмма $ABCD$ равна произведению стороны $AD$ на высоту $BK$:
$S = AD \cdot BK = 10 \cdot 6 = 60 \text{ см}^2$.

Ответ: $60 \text{ см}^2$.

б)

Для нахождения площади параллелограмма используем формулу $S = a \cdot h_a$. В данном случае основанием является сторона $AD$, а высотой – отрезок $BH$. Сначала найдем длину основания $AD$. Оно состоит из двух отрезков: $AH$ и $HD$.
$AD = AH + HD = 4 + 3 = 7$ см.
Теперь найдем длину высоты $BH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (так как $BH$ – высота, $\angle AHB = 90^\circ$). Нам известен угол $\angle BAH = 45^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, значит $\angle ABH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку углы при основании $AB$ равны, треугольник $ABH$ является равнобедренным, и его катеты равны: $BH = AH = 4$ см. Теперь можем вычислить площадь параллелограмма:
$S = AD \cdot BH = 7 \cdot 4 = 28 \text{ см}^2$.

Ответ: $28 \text{ см}^2$.

в)

Площадь параллелограмма можно найти как произведение его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Возьмем за основание сторону $AD=12$ см. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к стороне $AD$.
Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник $ABH$. В нем гипотенуза $AB = 8$ см, а угол $\angle BAH = 30^\circ$. Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем случае это высота $BH$.
$BH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
Теперь, зная основание $AD = 12$ см и высоту $BH = 4$ см, найдем площадь параллелограмма:
$S = AD \cdot BH = 12 \cdot 4 = 48 \text{ см}^2$.

Ответ: $48 \text{ см}^2$.