Номер 175, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

175. На рисунке 166 $a \parallel b$, $c \parallel d$, $MK = 16$, $NK = 24$. Расстояние между прямыми $a$ и $b$ равно 18. Найдите расстояние между прямыми $c$ и $d$.

Рис. 166

По условию задачи даны две пары параллельных прямых: $a \parallel b$ и $c \parallel d$. При пересечении эти прямые образуют параллелограмм. Из рисунка видно, что его вершины — это точки пересечения прямых. Обозначим этот параллелограмм $PMKN$, где его стороны лежат на данных прямых.

Согласно условию, нам известны длины двух смежных сторон этого параллелограмма:

• Сторона $NK$, лежащая на прямой $b$, имеет длину $NK = 24$.
• Сторона $MK$, лежащая на прямой $d$, имеет длину $MK = 16$.

Площадь параллелограмма ($S$) можно вычислить по формуле $S = \text{основание} \times \text{высота}$. Мы можем найти площадь данного параллелограмма, используя два разных основания и соответствующие им высоты.

1. Возьмем в качестве основания сторону $NK$. Высотой, проведенной к этому основанию, будет расстояние между параллельными прямыми $a$ и $b$. По условию, это расстояние равно 18.

Основание $b_1 = NK = 24$.

Высота $h_1 = 18$.

Площадь параллелограмма: $S = b_1 \cdot h_1 = 24 \cdot 18$.

2. Теперь возьмем в качестве основания сторону $MK$. Высотой, проведенной к этому основанию, будет расстояние между параллельными прямыми $c$ и $d$. Это и есть искомая величина.

Основание $b_2 = MK = 16$.

Высота $h_2$ — искомое расстояние.

Площадь параллелограмма: $S = b_2 \cdot h_2 = 16 \cdot h_2$.

Поскольку оба выражения вычисляют площадь одного и того же параллелограмма, мы можем их приравнять:

$16 \cdot h_2 = 24 \cdot 18$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $h_2$:

$h_2 = \frac{24 \cdot 18}{16}$

Сократим дробь для упрощения вычислений:

$h_2 = \frac{3 \cdot 8 \cdot 18}{2 \cdot 8} = \frac{3 \cdot 18}{2} = 3 \cdot 9 = 27$

Таким образом, расстояние между прямыми $c$ и $d$ равно 27.

Ответ: 27.