Номер 179, страница 87 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

179. Расстояние от вершины $B$ в параллелограмма $ABCD$ до прямой $AD$ равно 6 см, а до прямой $AC$ — 4 см, $\angle CAD = 30^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть ABCD - данный параллелограмм. Обозначим расстояние от вершины B до прямой AD как $h_1$, а расстояние от B до прямой AC как $h_2$. По условию задачи $h_1 = 6$ см и $h_2 = 4$ см.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S_{ABCD} = \text{основание} \times \text{высота}$. Если в качестве основания взять сторону AD, то высотой будет расстояние от вершины B до прямой AD, то есть $h_1$. Таким образом, $S_{ABCD} = AD \cdot h_1 = AD \cdot 6$. Для решения задачи нам нужно найти длину стороны AD.

Рассмотрим диагональ AC. Она делит параллелограмм на два равных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Расстояние от вершины B до прямой AC ($h_2=4$ см) является высотой треугольника $\triangle ABC$, проведенной к стороне AC. Так как треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны, то и их высоты, проведенные к общей стороне AC, равны. Следовательно, высота треугольника $\triangle CDA$, опущенная из вершины D на прямую AC, также равна 4 см.

Обозначим эту высоту как DK, где K - основание перпендикуляра, опущенного из D на прямую AC. Таким образом, $DK = 4$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADK$, в котором $\angle AKD = 90^\circ$. Угол $\angle DAK$ в этом треугольнике равен данному в условии углу $\angle CAD = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. В $\triangle ADK$ катет DK лежит против угла $\angle DAK = 30^\circ$. Следовательно:$DK = \frac{1}{2} AD$Отсюда находим длину стороны AD:$AD = 2 \cdot DK = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Теперь, зная длину стороны AD и высоту $h_1$, проведенную к ней, вычисляем площадь параллелограмма:$S_{ABCD} = AD \cdot h_1 = 8 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$.

Ответ: 48 см$^2$.