Номер 182, страница 87 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

182. Периметр параллелограмма $ABCD$ равен 48 см, его высоты равны 10 см и 6 см. Найдите площадь параллелограмма.

Обозначим стороны параллелограмма как $a$ и $b$, а соответствующие им высоты как $h_a$ и $h_b$.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию задачи, $P = 48$ см. Следовательно, сумма смежных сторон:$a+b = \frac{P}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить двумя способами: умножив сторону на проведенную к ней высоту.$S = a \cdot h_a$$S = b \cdot h_b$Важно помнить, что к большей стороне проводится меньшая высота, а к меньшей стороне — большая высота. Пусть $a$ будет меньшей стороной, а $b$ — большей. Тогда к стороне $a$ будет проведена большая высота $h_a = 10$ см, а к стороне $b$ — меньшая высота $h_b = 6$ см.

Так как площадь параллелограмма — величина постоянная, мы можем приравнять два выражения для неё:$a \cdot h_a = b \cdot h_b$$a \cdot 10 = b \cdot 6$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $a+b = 24$

2) $10a = 6b$

Выразим $b$ из первого уравнения: $b = 24 - a$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$10a = 6(24-a)$

$10a = 144 - 6a$

$10a + 6a = 144$

$16a = 144$

$a = \frac{144}{16} = 9$ см.

Теперь, когда мы нашли одну из сторон ($a=9$ см), мы можем найти площадь параллелограмма, используя соответствующую ей высоту ($h_a = 10$ см):$S = a \cdot h_a = 9 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 90 \text{ см}^2$.

Для проверки можно найти сторону $b$ и вычислить площадь через нее:$b = 24 - a = 24 - 9 = 15$ см.$S = b \cdot h_b = 15 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 90 \text{ см}^2$. Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: $90 \text{ см}^2$.