Номер 180, страница 87 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

180. Площадь параллелограмма равна $112 \text{ см}^2$. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон данного параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм ABCD, площадь которого равна $S_{ABCD} = 112$ см².

Обозначим середины сторон AB, BC, CD и DA как K, L, M и N соответственно. Требуется найти площадь четырехугольника KLMN.

Согласно теореме Вариньона, четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон произвольного выпуклого четырехугольника, является параллелограммом. Площадь этого параллелограмма (называемого параллелограммом Вариньона) равна половине площади исходного четырехугольника.

Докажем это для нашего случая. Площадь четырехугольника KLMN можно вычислить, вычтя из площади большого параллелограмма ABCD площади четырех "угловых" треугольников: $\triangle AKN$, $\triangle BKL$, $\triangle CML$ и $\triangle DNM$.

$S_{KLMN} = S_{ABCD} - (S_{\triangle AKN} + S_{\triangle BKL} + S_{\triangle CML} + S_{\triangle DNM})$

Пусть стороны параллелограмма ABCD равны $a$ и $b$ ($AB = CD = a$, $BC = DA = b$), а угол при вершине A равен $\alpha$. Тогда площадь параллелограмма ABCD вычисляется по формуле $S_{ABCD} = a \cdot b \cdot \sin\alpha$.

Рассмотрим площади угловых треугольников:

• Треугольник AKN: $AK = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$, $AN = \frac{1}{2}AD = \frac{b}{2}$. Угол между этими сторонами равен $\angle A = \alpha$. $S_{\triangle AKN} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AN \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \sin\alpha = \frac{1}{8}ab\sin\alpha = \frac{1}{8}S_{ABCD}$.
• Треугольник BKL: $BK = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$, $BL = \frac{1}{2}BC = \frac{b}{2}$. Угол при вершине B равен $180^\circ - \alpha$. Так как $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, то: $S_{\triangle BKL} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot BL \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot \sin\alpha = \frac{1}{8}ab\sin\alpha = \frac{1}{8}S_{ABCD}$.
• Треугольник CML: $CM = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}$, $CL = \frac{1}{2}BC = \frac{b}{2}$. Угол $\angle C = \angle A = \alpha$. $S_{\triangle CML} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot CL \cdot \sin\alpha = \frac{1}{8}ab\sin\alpha = \frac{1}{8}S_{ABCD}$.
• Треугольник DNM: $DM = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}$, $DN = \frac{1}{2}DA = \frac{b}{2}$. Угол $\angle D = \angle B = 180^\circ - \alpha$. $S_{\triangle DNM} = \frac{1}{2} \cdot DM \cdot DN \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{8}ab\sin\alpha = \frac{1}{8}S_{ABCD}$.

Суммарная площадь четырех треугольников составляет:$S_{угл.треуг.} = S_{\triangle AKN} + S_{\triangle BKL} + S_{\triangle CML} + S_{\triangle DNM} = 4 \cdot \frac{1}{8}S_{ABCD} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$.

Теперь найдем площадь искомого четырехугольника KLMN:$S_{KLMN} = S_{ABCD} - S_{угл.треуг.} = S_{ABCD} - \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$.

Таким образом, площадь четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон данного параллелограмма, равна половине площади этого параллелограмма.

Выполним вычисления:$S_{KLMN} = \frac{1}{2} \cdot 112 \text{ см}^2 = 56 \text{ см}^2$.

Ответ: 56 см².