Номер 185, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

185. Найдите площади треугольников, изображенных на рисунках 177, а)–в).

а) 1 см

б) 1 см

в) 1 см

Рис. 177

Для нахождения площади треугольника используется формула $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — длина основания треугольника, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. Масштаб на рисунках: сторона одной клетки сетки равна 1 см.

а)

В качестве основания выберем нижнюю горизонтальную сторону треугольника. Ее длина, судя по сетке, составляет $a = 4$ см. Высота, опущенная на это основание из верхней вершины, равна $h = 3$ см.

Вычислим площадь:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: 6 см².

б)

В качестве основания выберем правую вертикальную сторону треугольника. Ее длина составляет $a = 4$ см. Высота, проведенная к этому основанию из левой вершины, равна $h = 4$ см.

Вычислим площадь:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}^2$.

Ответ: 8 см².

в)

Поскольку ни одна из сторон этого треугольника не лежит на линиях сетки, для нахождения его площади воспользуемся методом достроения до прямоугольника. Опишем вокруг треугольника прямоугольник, стороны которого проходят по линиям сетки и касаются вершин треугольника.

Полученный прямоугольник будет иметь размеры 4 см на 3 см. Его площадь составляет:

$S_{прям} = 4 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

Площадь исходного треугольника равна площади прямоугольника за вычетом площадей трех прямоугольных треугольников, образовавшихся в углах.

1. Площадь первого "лишнего" треугольника (в левом верхнем углу): катеты равны 1 см и 3 см. Его площадь: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1,5$ см².
2. Площадь второго "лишнего" треугольника (в правом верхнем углу): катеты равны 3 см и 2 см. Его площадь: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$ см².
3. Площадь третьего "лишнего" треугольника (в правом нижнем углу): катеты равны 4 см и 1 см. Его площадь: $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2$ см².

Суммарная площадь этих трех треугольников:

$S_{лиш} = S_1 + S_2 + S_3 = 1,5 + 3 + 2 = 6,5$ см².

Искомая площадь треугольника в) равна разности площади прямоугольника и суммарной площади "лишних" треугольников:

$S = S_{прям} - S_{лиш} = 12 - 6,5 = 5,5$ см².

Ответ: 5,5 см².