Номер 192, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

192. В параллелограмме $ABCD$ $O$ — точка пересечения диагоналей, $K$ — середина стороны $AD$. Найдите отношение площади четырехугольника $KOCD$ к площади параллелограмма.

Обозначим площадь параллелограмма $ABCD$ как $S_{ABCD}$.

Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей параллелограмма $AC$ и $BD$. По свойству параллелограмма, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $O$ — середина $AC$ и $BD$.

Диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника равной площади. Таким образом:

$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle BOC} = S_{\triangle COD} = S_{\triangle DOA} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$

В частности, нас интересуют площади треугольников $COD$ и $AOD$:

$S_{\triangle COD} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$

$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$

Рассмотрим треугольник $AOD$. По условию, точка $K$ — середина стороны $AD$. Отрезок $OK$ соединяет вершину $O$ с серединой противоположной стороны $AD$, следовательно, $OK$ является медианой треугольника $AOD$.

Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника. Значит, площадь треугольника $KOD$ составляет половину площади треугольника $AOD$:

$S_{\triangle KOD} = \frac{1}{2} S_{\triangle AOD}$

Подставим известное значение площади $\triangle AOD$:

$S_{\triangle KOD} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{4} S_{ABCD}\right) = \frac{1}{8} S_{ABCD}$

Площадь четырехугольника $KOCD$ равна сумме площадей треугольников $KOD$ и $COD$, из которых он состоит:

$S_{KOCD} = S_{\triangle KOD} + S_{\triangle COD}$

Сложим найденные площади:

$S_{KOCD} = \frac{1}{8} S_{ABCD} + \frac{1}{4} S_{ABCD} = \left(\frac{1}{8} + \frac{2}{8}\right) S_{ABCD} = \frac{3}{8} S_{ABCD}$

Искомое отношение площади четырехугольника $KOCD$ к площади параллелограмма $ABCD$ равно:

$\frac{S_{KOCD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{3}{8} S_{ABCD}}{S_{ABCD}} = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}$.