Номер 195, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

195. Найдите площадь треугольника (в квадратных единицах), вершины которого имеют координаты $(2; 3)$, $(4; 7)$, $(10; 4)$.

Для нахождения площади треугольника по координатам его вершин существует несколько методов. Рассмотрим два наиболее распространенных, чтобы дать развернутое решение.

Способ 1: Формула площади по координатам (формула Гаусса)

Это самый прямой и быстрый способ. Площадь треугольника с вершинами в точках $(x_A, y_A)$, $(x_B, y_B)$, $(x_C, y_C)$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} |(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)|$

Или, в другом виде, который часто легче запомнить:

$S = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$

Подставим координаты наших вершин $A(2; 3)$, $B(4; 7)$, $C(10; 4)$ в эту формулу:

$S = \frac{1}{2} |2(7 - 4) + 4(4 - 3) + 10(3 - 7)|$

Проведем вычисления:

$S = \frac{1}{2} |2(3) + 4(1) + 10(-4)|$

$S = \frac{1}{2} |6 + 4 - 40|$

$S = \frac{1}{2} |-30|$

Так как модуль числа всегда положителен, $|-30| = 30$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$

Площадь треугольника равна 15 квадратным единицам.

Ответ: 15

Способ 2: Метод разложения на трапеции

Этот метод более наглядный. Идея состоит в том, чтобы спроецировать вершины треугольника на одну из координатных осей (например, на ось Ox) и рассчитать площадь как сумму или разность площадей полученных трапеций.

Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле: $S_{ABC} = S_{ABQP} + S_{BCRQ} - S_{ACRP}$, где $P, Q, R$ — проекции точек $A, B, C$ на ось Ox, то есть $P(2;0)$, $Q(4;0)$, $R(10;0)$.

1. Найдем площадь трапеции $ABQP$. Ее основаниями являются отрезки, равные ординатам точек $A$ и $B$ ($y_A=3, y_B=7$), а высотой — разность их абсцисс ($x_B - x_A$).

$S_{ABQP} = \frac{y_A + y_B}{2} \cdot (x_B - x_A) = \frac{3 + 7}{2} \cdot (4 - 2) = \frac{10}{2} \cdot 2 = 10$.

2. Найдем площадь трапеции $BCRQ$. Основания: $y_B=7, y_C=4$. Высота: $x_C - x_B$.

$S_{BCRQ} = \frac{y_B + y_C}{2} \cdot (x_C - x_B) = \frac{7 + 4}{2} \cdot (10 - 4) = \frac{11}{2} \cdot 6 = 33$.

3. Найдем площадь трапеции $ACRP$. Основания: $y_A=3, y_C=4$. Высота: $x_C - x_A$.

$S_{ACRP} = \frac{y_A + y_C}{2} \cdot (x_C - x_A) = \frac{3 + 4}{2} \cdot (10 - 2) = \frac{7}{2} \cdot 8 = 28$.

Теперь вычислим искомую площадь треугольника:

$S_{ABC} = S_{ABQP} + S_{BCRQ} - S_{ACRP} = 10 + 33 - 28 = 15$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 15