Номер 191, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

191. a) Найдите площадь прямоугольного треугольника с катетами, равными 8 см и 15 см.

б) В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $AC$ на 7 см меньше $BC$, $S_{ABC} = 30 \text{ см}^2$. Найдите $BC$.

а)

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ — длины его катетов.
По условию, катеты равны 8 см и 15 см. Подставим эти значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 4 \cdot 15 = 60$ (см²).
Ответ: 60 см².

б)

В треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$, следовательно, стороны $AC$ и $BC$ являются его катетами.
Пусть длина катета $BC$ равна $x$ см. По условию, $AC$ на 7 см меньше $BC$, значит, длина катета $AC$ равна $(x - 7)$ см. Так как длина стороны не может быть отрицательной, $x > 7$.
Площадь прямоугольного треугольника $S_{ABC}$ равна половине произведения его катетов:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$.
Подставим известные значения и выражения для сторон в формулу площади:
$30 = \frac{1}{2} \cdot (x - 7) \cdot x$.
Умножим обе части уравнения на 2:
$60 = x(x - 7)$.
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 7x - 60 = 0$.
Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$.
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 17}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 17}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны не может быть отрицательным числом.
Следовательно, длина катета $BC$ равна 12 см.
Ответ: 12 см.