Тест 2, страница 89 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

Найдите площадь треугольника, если размеры одной клетки $1 \text{ см} \times 1 \text{ см}$.

а) $28 \text{ см}^2$;

б) $16 \text{ см}^2$;

в) $20 \text{ см}^2$;

г) $14 \text{ см}^2$.

$1 \text{ см}$

Для того чтобы найти площадь треугольника на клетчатой бумаге, можно использовать несколько способов. Рассмотрим два из них для получения развернутого решения.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – это длина основания, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

1. В качестве основания $a$ удобно выбрать левую вертикальную сторону треугольника. Посчитав клетки, мы видим, что ее длина составляет 4 клетки. Так как размер одной клетки 1 см × 1 см, то длина основания $a = 4$ см.

2. Высота $h$ – это перпендикуляр, проведенный из третьей (правой) вершины к прямой, содержащей основание. В данном случае это горизонтальный отрезок. Его длина, посчитанная по клеткам, составляет 7 клеток, следовательно, $h = 7$ см.

3. Теперь подставим найденные значения в формулу и вычислим площадь:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 2 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 14 \text{ см}^2$.

Этот метод заключается в том, чтобы достроить треугольник до прямоугольника, а затем вычесть из площади прямоугольника площади "лишних" фигур.

1. Опишем вокруг треугольника прямоугольник так, чтобы его стороны проходили через вершины треугольника параллельно линиям сетки. Получится прямоугольник с размерами 7 клеток в ширину и 4 клетки в высоту.

2. Площадь этого прямоугольника равна: $S_{прямоугольника} = 7 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 28 \text{ см}^2$.

3. Этот прямоугольник состоит из нашего исходного треугольника и двух прямоугольных треугольников, расположенных в правой части. Найдем их площади, чтобы затем вычесть.

4. Площадь верхнего правого "лишнего" треугольника с катетами 7 см и 1 см: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 1 = 3,5 \text{ см}^2$.

5. Площадь нижнего правого "лишнего" треугольника с катетами 7 см и 3 см: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3 = 10,5 \text{ см}^2$.

6. Теперь найдем площадь искомого треугольника, вычитая из площади прямоугольника суммарную площадь двух "лишних" треугольников:

$S = S_{прямоугольника} - (S_1 + S_2) = 28 \text{ см}^2 - (3,5 \text{ см}^2 + 10,5 \text{ см}^2) = 28 \text{ см}^2 - 14 \text{ см}^2 = 14 \text{ см}^2$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Полученная площадь 14 см² соответствует варианту г).

Ответ: г) 14 см².