Номер 181, страница 87 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

181. Дан параллелограмм $ABCD$, $DK$ – биссектриса угла $D$ (точка $K$ лежит на стороне $BC$), $\angle BKD = 105^\circ$, $BK = 4$ см, $KC = 12$ см. Найдите площадь параллелограмма.

Для нахождения площади параллелограмма ABCD воспользуемся формулой $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними. Нам необходимо найти длины сторон BC, CD и величину угла C.

1. Найдем длину стороны BC. Поскольку точка K лежит на стороне BC, ее длина равна сумме длин отрезков BK и KC:
$BC = BK + KC = 4 \text{ см} + 12 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

2. Теперь найдем длину стороны CD. Так как ABCD — параллелограмм, то его противоположные стороны параллельны: $AD \parallel BC$. Прямая DK является секущей при этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы $\angle ADK$ и $\angle CKD$ равны.
По условию, DK — биссектриса угла D, следовательно, $\angle ADK = \angle CDK$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle CKD = \angle CDK$.

3. Рассмотрим треугольник KCD. Так как два его угла равны ($\angle CKD = \angle CDK$), он является равнобедренным с основанием DK. Это значит, что боковые стороны KC и CD равны:
$CD = KC = 12 \text{ см}$.

4. Далее найдем величину угла C. Углы $\angle BKD$ и $\angle CKD$ — смежные, так как они образованы на прямой BC. Их сумма равна $180^\circ$.
$\angle CKD = 180^\circ - \angle BKD = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.
Поскольку треугольник KCD равнобедренный, то $\angle CDK = \angle CKD = 75^\circ$.

5. Так как DK — биссектриса, полный угол D ($\angle ADC$) параллелограмма равен:
$\angle ADC = 2 \cdot \angle CDK = 2 \cdot 75^\circ = 150^\circ$.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Поэтому угол C ($\angle BCD$) равен:
$\angle BCD = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

6. Теперь, зная длины смежных сторон $BC = 16 \text{ см}$, $CD = 12 \text{ см}$ и угол между ними $\angle BCD = 30^\circ$, можем вычислить площадь параллелограмма:
$S_{ABCD} = BC \cdot CD \cdot \sin(\angle BCD) = 16 \cdot 12 \cdot \sin(30^\circ)$.
Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$S_{ABCD} = 16 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 192 \cdot \frac{1}{2} = 96 \text{ см}^2$.

Ответ: $96 \text{ см}^2$.