Номер 177, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

177. Определите, сколько квадратных единиц составляет площадь параллелограмма, изображенного на координатной плоскости (рис. 167).

Рис. 167

Для нахождения площади параллелограмма, изображенного на координатной плоскости, можно воспользоваться несколькими способами.

Способ 1: Использование формулы площади параллелограмма

Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется по формуле:
$S = a \cdot h$,
где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

1. В качестве основания $a$ возьмем нижнюю сторону параллелограмма. Из рисунка видно, что эта сторона параллельна оси $x$ и ее концы имеют координаты $(3, 2)$ и $(11, 2)$. Длина этого основания равна разности их абсцисс:
$a = 11 - 3 = 8$ единиц.

2. Высота $h$ — это перпендикулярное расстояние между основанием и противоположной стороной. Нижнее основание лежит на прямой $y=2$, а верхнее — на прямой $y=8$. Следовательно, высота равна разности их ординат:
$h = 8 - 2 = 6$ единиц.

3. Теперь вычислим площадь параллелограмма:
$S = a \cdot h = 8 \cdot 6 = 48$ квадратных единиц.

Ответ: 48.

Способ 2: Метод достроения до прямоугольника (формула Пика)

Этот метод заключается в том, что мы описываем вокруг фигуры прямоугольник, находим его площадь и вычитаем площади "лишних" частей (в данном случае — двух треугольников).

1. Определим координаты вершин параллелограмма по рисунку: нижняя левая — $(3, 2)$, нижняя правая — $(11, 2)$, верхняя левая — $(2, 8)$, верхняя правая — $(10, 8)$.

2. Опишем вокруг параллелограмма прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат. Его вершины будут иметь координаты $(2, 2)$, $(11, 2)$, $(11, 8)$ и $(2, 8)$.
Длина этого прямоугольника: $11 - 2 = 9$.
Ширина этого прямоугольника: $8 - 2 = 6$.
Площадь прямоугольника ($S_{прям}$): $S_{прям} = 9 \cdot 6 = 54$ квадратные единицы.

3. Теперь найдем площади двух прямоугольных треугольников, которые являются частью прямоугольника, но не входят в параллелограмм.
Первый треугольник (слева) имеет катеты длиной $3 - 2 = 1$ и $8 - 2 = 6$. Его площадь ($S_{Δ1}$):
$S_{Δ1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 6 = 3$ квадратные единицы.
Второй треугольник (справа) имеет катеты длиной $11 - 10 = 1$ и $8 - 2 = 6$. Его площадь ($S_{Δ2}$):
$S_{Δ2} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 6 = 3$ квадратные единицы.

4. Площадь параллелограмма равна площади прямоугольника минус площади двух треугольников:
$S_{пар} = S_{прям} - S_{Δ1} - S_{Δ2} = 54 - 3 - 3 = 48$ квадратных единиц.

Ответ: 48.