Номер 183, страница 87 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

183. Угол между высотами $BK$ и $BM$ параллелограмма $ABCD$ равен $45^{\circ}$. Высота $BK$ делит сторону $AD$ в отношении $1 : 2$, считая от точки $A$. Средняя линия трапеции $KBCD$ равна $7,5$ см. Найдите площадь параллелограмма.

1. Нахождение углов параллелограмма

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Высоты $BK$ и $BM$ проведены из вершины $B$ к сторонам $AD$ и $CD$ соответственно. Это значит, что $BK \perp AD$ и $BM \perp CD$. Рассмотрим четырехугольник $BKDM$. В нем $\angle BKD = 90^\circ$ и $\angle BMD = 90^\circ$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. По условию, угол между высотами $\angle KBM = 45^\circ$. Тогда для четырехугольника $BKDM$ имеем: $\angle D + \angle BKD + \angle KBM + \angle BMD = 360^\circ$ $\angle D + 90^\circ + 45^\circ + 90^\circ = 360^\circ$ $\angle D + 225^\circ = 360^\circ$ $\angle D = 360^\circ - 225^\circ = 135^\circ$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, угол $\angle A$ (или $\angle BAD$) равен: $\angle A = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

2. Использование данных о трапеции и отношения отрезков

Поскольку $BK \perp AD$ и $BC \parallel AD$, то четырехугольник $KBCD$ является прямоугольной трапецией с основаниями $BC$, $KD$ и высотой $BK$. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. По условию, она равна $7,5$ см. $\frac{BC + KD}{2} = 7,5$ см $BC + KD = 15$ см.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, т.е. $AD = BC$. Также сторона $AD$ состоит из отрезков $AK$ и $KD$: $AD = AK + KD$. Подставим $AD$ вместо $BC$ в предыдущее равенство: $AD + KD = 15$ см $(AK + KD) + KD = 15$ см $AK + 2KD = 15$ см.

По условию, точка $K$ делит сторону $AD$ в отношении $AK : KD = 1 : 2$. Обозначим $AK = x$, тогда $KD = 2x$. Подставим эти выражения в полученное уравнение: $x + 2(2x) = 15$ $x + 4x = 15$ $5x = 15$ $x = 3$ см.

Таким образом, мы нашли длины отрезков: $AK = 3$ см. $KD = 2 \cdot 3 = 6$ см. Сторона параллелограмма $AD = AK + KD = 3 + 6 = 9$ см.

3. Нахождение высоты параллелограмма

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABK$ (угол $\angle AKB = 90^\circ$). Мы знаем, что $\angle A = 45^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\angle ABK = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как углы при основании $AB$ равны ($\angle A = \angle ABK = 45^\circ$), треугольник $\triangle ABK$ является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $BK = AK$. Поскольку $AK = 3$ см, то высота параллелограмма $BK = 3$ см.

4. Вычисление площади параллелограмма

Площадь параллелограмма вычисляется как произведение его основания на высоту, проведенную к этому основанию. $S_{ABCD} = AD \cdot BK$. Подставим найденные значения: $S_{ABCD} = 9 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 27 \text{ см}^2$.

Ответ: $27 \text{ см}^2$.