Номер 184, страница 87 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

184. Точки $M, N, P, K$ — середины сторон четырехугольника $ABCD$ (рис. 168). Площадь четырехугольника $MNPK$ равна $144 \text{ см}^2$. Известно, что $BD = 24 \text{ см}$, $NH \perp MK$. Докажите, что $\angle NHP = \angle NPH$.

Рис. 168

Доказательство:

1. Рассмотрим четырехугольник $MNPK$. Так как точки $M, N, P, K$ являются серединами сторон четырехугольника $ABCD$, то $MNPK$ — параллелограмм Вариньона.

2. Рассмотрим отрезки $NP$ и $MK$.

• В треугольнике $BCD$ отрезок $NP$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$, следовательно, $NP$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $NP$ параллельна диагонали $BD$ и равна ее половине: $NP = \frac{1}{2}BD$.
• В треугольнике $ABD$ отрезок $MK$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$, следовательно, $MK$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $MK$ параллельна диагонали $BD$ и равна ее половине: $MK = \frac{1}{2}BD$.

Из этого следует, что $NP = MK$ и $NP \parallel MK$.

3. Найдем длину стороны $NP$. По условию, $BD = 24$ см. Тогда:
$NP = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.

4. Площадь параллелограмма $MNPK$ вычисляется по формуле $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне. В нашем случае, мы можем взять сторону $MK$ за основание. По условию, $NH \perp MK$, значит, $NH$ является высотой параллелограмма $MNPK$, проведенной к основанию $MK$.
Мы знаем, что $MK = NP = 12$ см.
Площадь $S_{MNPK} = MK \cdot NH$.
Подставим известные значения: $144 = 12 \cdot NH$.
Отсюда найдем длину $NH$:
$NH = \frac{144}{12} = 12$ см.

5. Теперь рассмотрим треугольник $NHP$. Мы установили, что его стороны $NP = 12$ см и $NH = 12$ см.
Так как $NP = NH$, треугольник $NHP$ является равнобедренным с основанием $HP$.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle NHP = \angle NPH$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на том, что четырехугольник $MNPK$, образованный серединами сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом (теорема Вариньона). Его стороны $NP$ и $MK$ параллельны диагонали $BD$ и равны ее половине, то есть $NP = MK = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см. Площадь параллелограмма $S_{MNPK}$ равна произведению основания на высоту. Так как $NH \perp MK$, $NH$ является высотой. Из формулы $S_{MNPK} = MK \cdot NH$ находим $NH = \frac{144}{12} = 12$ см. В треугольнике $NHP$ стороны $NH$ и $NP$ равны ($12$ см), следовательно, он равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle NHP = \angle NPH$.