Номер 189, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

189. Докажите, что средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна $ \frac{1}{4} $ площади данного.

Пусть дан произвольный треугольник $\triangle ABC$. Пусть $MN$ — его средняя линия, соединяющая середины сторон $AB$ и $BC$ (точки $M$ и $N$ соответственно). Эта линия отсекает от исходного треугольник $\triangle MBN$. Требуется доказать, что площадь $\triangle MBN$ равна $\frac{1}{4}$ площади $\triangle ABC$.

Доказательство

Рассмотрим треугольники $\triangle MBN$ и $\triangle ABC$.

1. Угол $\angle B$ у них общий.

2. По определению средней линии, $M$ — середина стороны $AB$ и $N$ — середина стороны $BC$. Это значит, что стороны, прилежащие к общему углу $\angle B$, пропорциональны:

$\frac{BM}{AB} = \frac{\frac{1}{2}AB}{AB} = \frac{1}{2}$

$\frac{BN}{BC} = \frac{\frac{1}{2}BC}{BC} = \frac{1}{2}$

Поскольку треугольники имеют общий угол и прилежащие к нему стороны пропорциональны ($\frac{BM}{AB} = \frac{BN}{BC} = \frac{1}{2}$), то $\triangle MBN$ подобен $\triangle ABC$ (по второму признаку подобия треугольников).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. В нашем случае коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Следовательно, отношение площадей этих треугольников равно:

$\frac{S_{\triangle MBN}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Из этой пропорции следует, что $S_{\triangle MBN} = \frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна $\frac{1}{4}$ площади данного треугольника.