Номер 190, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

190. Дан треугольник $ABC$ (рис. 178), $MK$ — средняя линия треугольника. Площадь четырехугольника $AMKC$ равна $48 \text{ см}^2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Рис. 178

Поскольку $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$, она отсекает от него треугольник $MBK$, который подобен треугольнику $ABC$. Это следует из того, что по свойству средней линии $MK \parallel AC$, а значит, углы треугольника $MBK$ равны соответствующим углам треугольника $ABC$ (угол $B$ — общий, а углы при основаниях $MK$ и $AC$ равны как соответственные при параллельных прямых).

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению их соответственных сторон. Так как $M$ и $K$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно, то: $k = \frac{BM}{AB} = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{\triangle MBK}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Отсюда можно выразить площадь треугольника $MBK$ через площадь треугольника $ABC$: $S_{\triangle MBK} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC}$.

Четырехугольник $AMKC$ является трапецией, и его площадь равна разности площадей треугольников $ABC$ и $MBK$: $S_{AMKC} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle MBK}$.

Подставим в это равенство известные данные и полученное выражение для $S_{\triangle MBK}$: $48 = S_{\triangle ABC} - \frac{1}{4} S_{\triangle ABC}$.

Приведем подобные слагаемые в правой части: $48 = (1 - \frac{1}{4}) S_{\triangle ABC}$ $48 = \frac{3}{4} S_{\triangle ABC}$.

Теперь найдем площадь треугольника $ABC$: $S_{\triangle ABC} = \frac{48 \cdot 4}{3} = 16 \cdot 4 = 64$ см².

Ответ: 64 см².