Номер 193, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

193. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 24 см. Стороны треугольника относятся как $3 : 4 : 5$. Найдите периметр треугольника.

Пусть стороны прямоугольного треугольника равны $a$, $b$ (катеты) и $c$ (гипотенуза).

Согласно условию задачи, стороны треугольника относятся как 3 : 4 : 5. Такое соотношение сторон характерно для прямоугольного треугольника (так называемого "египетского треугольника"), поскольку для них выполняется теорема Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон треугольника можно выразить следующим образом:
Катет $a = 3x$
Катет $b = 4x$
Гипотенуза $c = 5x$

Высота, проведенная к гипотенузе, обозначается как $h_c$ и по условию равна 24 см.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:
1. Как половина произведения катетов: $S = \frac{1}{2} a \cdot b$
2. Как половина произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту: $S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

Поскольку оба выражения определяют одну и ту же площадь, мы можем их приравнять:
$\frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} c \cdot h_c$
Умножив обе части равенства на 2, получим:
$a \cdot b = c \cdot h_c$

Подставим в это равенство выражения для сторон через $x$ и известное значение высоты $h_c = 24$ см:
$(3x) \cdot (4x) = (5x) \cdot 24$
$12x^2 = 120x$

Поскольку $x$ — коэффициент пропорциональности для длин сторон, он не может быть равен нулю ($x > 0$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $12x$:
$x = \frac{120}{12}$
$x = 10$

Теперь, зная коэффициент $x$, мы можем найти длины сторон треугольника:
Катет $a = 3x = 3 \cdot 10 = 30$ см.
Катет $b = 4x = 4 \cdot 10 = 40$ см.
Гипотенуза $c = 5x = 5 \cdot 10 = 50$ см.

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон.
$P = a + b + c = 30 + 40 + 50 = 120$ см.
Также периметр можно было найти, используя найденный коэффициент $x$:
$P = 3x + 4x + 5x = 12x = 12 \cdot 10 = 120$ см.

Ответ: 120 см.