Номер 188, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

188. a) В треугольнике $ABC$ высота $AK$ равна 9 см, высота $CH$ равна 6 см, $BC = 8$ см. Найдите длину стороны $AB$.

б) Две стороны треугольника равны 4,5 м и 6 м. Высота, проведенная к меньшей из них, равна 4 м. Найдите высоту, проведенную к большей из этих сторон.

а)

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — сторона треугольника, а $h$ — высота, проведенная к этой стороне.

В треугольнике $ABC$ площадь можно выразить двумя способами, используя данные из условия:

1. Через сторону $BC$ и высоту $AK$, проведенную к ней:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK$

2. Через сторону $AB$ и высоту $CH$, проведенную к ней:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$

Так как площадь треугольника одна и та же, мы можем приравнять эти два выражения:

$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$

Домножив обе части равенства на 2, получим:

$BC \cdot AK = AB \cdot CH$

Подставим известные значения: $BC = 8$ см, $AK = 9$ см, $CH = 6$ см.

$8 \cdot 9 = AB \cdot 6$

$72 = AB \cdot 6$

Чтобы найти $AB$, разделим 72 на 6:

$AB = \frac{72}{6}$

$AB = 12$ см.

Ответ: 12 см.

б)

Обозначим стороны треугольника как $a_1$ и $a_2$, а высоты, проведенные к ним, как $h_1$ и $h_2$ соответственно. Площадь треугольника $S$ можно вычислить как $S = \frac{1}{2}ah$.

Из условия нам даны:

• Меньшая сторона $a_1 = 4,5$ м.
• Большая сторона $a_2 = 6$ м.
• Высота, проведенная к меньшей стороне, $h_1 = 4$ м.

Требуется найти высоту $h_2$, проведенную к большей стороне.

Площадь треугольника можно выразить через каждую из пар "сторона-высота":

$S = \frac{1}{2} a_1 h_1$

$S = \frac{1}{2} a_2 h_2$

Приравняем правые части этих равенств:

$\frac{1}{2} a_1 h_1 = \frac{1}{2} a_2 h_2$

Упростим, умножив обе части на 2:

$a_1 h_1 = a_2 h_2$

Подставим известные значения:

$4,5 \cdot 4 = 6 \cdot h_2$

$18 = 6 \cdot h_2$

Найдем неизвестную высоту $h_2$:

$h_2 = \frac{18}{6}$

$h_2 = 3$ м.

Ответ: 3 м.