Номер 194, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

194. Медианы $BN$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$, $S_{ABC} = 60 \text{ см}^2$. Найдите:

а) $S_{AKC}$;

б) $S_{KBM}$;

в) $S_{BMC}$;

г) $S_{AKMN}$.

Докажите, что при любом значении $S_{ABC}$ верно, что $S_{BMC} = S_{AKMN}$.

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами медиан треугольника:

• Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади.
• Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих (имеющих равную площадь) треугольников.

Пусть площадь треугольника $ABC$ равна $S_{ABC}$. Тогда площадь каждого из шести малых треугольников, образованных пересечением медиан, равна $\frac{1}{6}S_{ABC}$.

а) $S_{AKC}$

Медиана $CK$ делит треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника: $\triangle AKC$ и $\triangle BKC$.
Следовательно, площадь треугольника $AKC$ равна половине площади треугольника $ABC$.
$S_{AKC} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30$ см².
Ответ: $S_{AKC} = 30$ см².

б) $S_{KBM}$

Точка $M$ является точкой пересечения медиан, следовательно, она является центроидом треугольника $ABC$. Три медианы делят треугольник на шесть малых треугольников, площади которых равны. Треугольник $KBM$ является одним из таких треугольников.
Его площадь составляет $\frac{1}{6}$ от площади всего треугольника $ABC$.
$S_{KBM} = \frac{1}{6} S_{ABC} = \frac{1}{6} \cdot 60 = 10$ см².
Ответ: $S_{KBM} = 10$ см².

в) $S_{BMC}$

Треугольник $BMC$ состоит из двух малых треугольников, которые образовались бы при проведении третьей медианы из вершины $A$ к стороне $BC$.
Площадь $\triangle BMC$ равна сумме площадей двух из шести равновеликих треугольников.
Следовательно, его площадь составляет $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ от площади всего треугольника $ABC$.
$S_{BMC} = \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot 60 = 20$ см².
Альтернативное решение: Медиана $BN$ делит $\triangle ABC$ на два равновеликих треугольника, поэтому $S_{CBN} = \frac{1}{2}S_{ABC} = 30$ см². Треугольник $CBN$ состоит из $\triangle BMC$ и $\triangle CMN$. Площадь $\triangle CMN$ равна $\frac{1}{6}S_{ABC} = 10$ см². Тогда $S_{BMC} = S_{CBN} - S_{CMN} = 30 - 10 = 20$ см².
Ответ: $S_{BMC} = 20$ см².

г) $S_{AKMN}$

Четырехугольник $AKMN$ состоит из двух малых треугольников: $\triangle AKM$ и $\triangle ANM$.
Каждый из этих треугольников является одним из шести равновеликих треугольников, на которые медианы делят исходный треугольник.
$S_{AKM} = \frac{1}{6} S_{ABC} = 10$ см².
$S_{ANM} = \frac{1}{6} S_{ABC} = 10$ см².
Площадь четырехугольника $AKMN$ равна сумме их площадей.
$S_{AKMN} = S_{AKM} + S_{ANM} = 10 + 10 = 20$ см².
Ответ: $S_{AKMN} = 20$ см².

Докажите, что при любом значении $S_{ABC}$ верно, что $S_{BMC} = S_{AKMN}$

Пусть площадь треугольника $ABC$ равна $S$.
Докажем, что три медианы делят треугольник на 6 равновеликих частей. Пусть $M$ — точка пересечения медиан $BN$ и $CK$. $K$ — середина $AB$, $N$ — середина $AC$. Рассмотрим $\triangle ABM$. Треугольники $\triangle AKM$ и $\triangle BKM$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $M$ к стороне $AB$. Так как $K$ — середина $AB$, то их основания равны ($AK = KB$). Следовательно, их площади равны: $S_{AKM} = S_{BKM}$. Аналогично, $S_{ANM} = S_{CNM}$ (общая высота из $M$ к $AC$, основания $AN=NC$).

Точка пересечения медиан $M$ делит медиану $BN$ в отношении $BM:MN = 2:1$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ANM$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к прямой $BN$. Отношение их площадей равно отношению их оснований:
$\frac{S_{ABM}}{S_{ANM}} = \frac{BM}{MN} = \frac{2}{1}$, откуда $S_{ABM} = 2 S_{ANM}$.
Так как $S_{ABM} = S_{AKM} + S_{BKM}$ и $S_{AKM} = S_{BKM}$, то $S_{ABM} = 2 S_{AKM}$.
Получаем $2 S_{AKM} = 2 S_{ANM}$, то есть $S_{AKM} = S_{ANM}$.

Таким образом, мы показали, что $S_{AKM} = S_{BKM} = S_{ANM} = S_{CNM}$. Аналогично можно доказать, что и два других малых треугольника, образованных третьей медианой, имеют ту же площадь. Следовательно, все 6 треугольников равновелики, и площадь каждого из них равна $\frac{S}{6}$.

Теперь найдем площади $S_{BMC}$ и $S_{AKMN}$:
Площадь $\triangle BMC$ состоит из двух таких треугольников, поэтому $S_{BMC} = 2 \cdot \frac{S}{6} = \frac{S}{3}$.
Площадь четырехугольника $AKMN$ является суммой площадей $\triangle AKM$ и $\triangle ANM$: $S_{AKMN} = S_{AKM} + S_{ANM} = \frac{S}{6} + \frac{S}{6} = \frac{2S}{6} = \frac{S}{3}$.
Так как обе площади равны $\frac{1}{3}S_{ABC}$, то равенство $S_{BMC} = S_{AKMN}$ верно при любом значении $S_{ABC}$.
Ответ: Доказано.