Номер 201, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

201. Высоты треугольника относятся как $h_a : h_b : h_c = 2 : 3 : 4$, периметр равен 260 см. Найдите стороны $a$, $b$, $c$ треугольника.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника $S$, выраженной через сторону и высоту, проведенную к этой стороне: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона} \cdot \text{высота}$.

Площадь одного и того же треугольника можно выразить тремя способами:

$S = \frac{1}{2} a h_a$

$S = \frac{1}{2} b h_b$

$S = \frac{1}{2} c h_c$

Отсюда следует, что $a h_a = b h_b = c h_c = 2S$.

Из этого равенства можно выразить стороны треугольника через высоты и площадь:

$a = \frac{2S}{h_a}$, $b = \frac{2S}{h_b}$, $c = \frac{2S}{h_c}$.

Это означает, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам. Найдем соотношение сторон:

$a : b : c = \frac{1}{h_a} : \frac{1}{h_b} : \frac{1}{h_c}$

По условию, высоты относятся как $h_a : h_b : h_c = 2 : 3 : 4$. Подставим это соотношение в предыдущую пропорцию:

$a : b : c = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим все части отношения на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 3 и 4), которое равно 12:

$a : b : c = (\frac{1}{2} \cdot 12) : (\frac{1}{3} \cdot 12) : (\frac{1}{4} \cdot 12)$

$a : b : c = 6 : 4 : 3$

Теперь мы знаем соотношение сторон. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда длины сторон можно записать как:

$a = 6x$

$b = 4x$

$c = 3x$

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон. По условию, $P = 260$ см.

$P = a + b + c = 6x + 4x + 3x = 260$

$13x = 260$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{260}{13} = 20$

Теперь можем вычислить длины каждой стороны:

$a = 6x = 6 \cdot 20 = 120$ см

$b = 4x = 4 \cdot 20 = 80$ см

$c = 3x = 3 \cdot 20 = 60$ см

Ответ: стороны треугольника равны 120 см, 80 см и 60 см.