Номер 203, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

203. На рисунке 180 треугольник $ABC$ равносторонний, площади красного четырехугольника и синего треугольника равны. Докажите, что $BL = CK$. Найдите величину угла $KEC$.

Рис. 180

Докажите, что BL = CK.

Рассмотрим площади треугольников $BCL$ и $AKC$.

Площадь треугольника $BCL$ состоит из площадей четырехугольника $BLEK$ и треугольника $KEC$:

$S_{\triangle BCL} = S_{BLEK} + S_{\triangle KEC}$

Площадь треугольника $AKC$ состоит из площадей треугольников $AEC$ и $KEC$:

$S_{\triangle AKC} = S_{\triangle AEC} + S_{\triangle KEC}$

По условию задачи, площадь красного четырехугольника $BLEK$ равна площади синего треугольника $AEC$, то есть $S_{BLEK} = S_{\triangle AEC}$.

Подставив это равенство в выражения для площадей, мы видим, что площади треугольников $BCL$ и $AKC$ равны:

$S_{\triangle BCL} = S_{\triangle AKC}$

Площадь треугольника можно выразить через произведение двух сторон и синус угла между ними по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$.

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, все его углы равны $60^\circ$ ($\angle B = \angle C = 60^\circ$) и все стороны равны ($AB = BC = AC$).

Выразим площади треугольников $BCL$ и $AKC$ по этой формуле:

$S_{\triangle BCL} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BL \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BL \cdot \sin(60^\circ)$

$S_{\triangle AKC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CK \cdot \sin(\angle C) = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CK \cdot \sin(60^\circ)$

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BL \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CK \cdot \sin(60^\circ)$

Мы можем сократить одинаковые множители $\frac{1}{2}$ и $\sin(60^\circ)$ в обеих частях равенства.

$BC \cdot BL = AC \cdot CK$

Так как $BC = AC$ (как стороны равностороннего треугольника), мы можем сократить и их, получив:

$BL = CK$

Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство $BL = CK$ доказано.

Найдите величину угла KEC.

Рассмотрим треугольники $CLB$ и $AKC$. Сравним их элементы:

• $CB = AC$ (как стороны равностороннего треугольника $ABC$).
• $BL = CK$ (согласно доказанному в предыдущем пункте).
• $\angle LBC = \angle KCA = 60^\circ$ (как углы равностороннего треугольника $ABC$).

Следовательно, треугольники $CLB$ и $AKC$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

$\triangle CLB \cong \triangle AKC$

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов:

$\angle BCL = \angle CAK$

Обозначим величину этих равных углов через $\beta$, то есть $\angle BCL = \angle CAK = \beta$.

Теперь рассмотрим треугольник $KEC$. Чтобы найти $\angle KEC$, определим два других его угла: $\angle KCE$ и $\angle CKE$.

1. Угол $\angle KCE$. Этот угол образован отрезками $CK$ и $CE$. Так как точка $K$ лежит на луче $CB$, а точка $E$ — на отрезке $CL$, то $\angle KCE$ совпадает с углом $\angle BCL$. Таким образом, $\angle KCE = \angle BCL = \beta$.

2. Угол $\angle CKE$. Этот угол образован отрезками $KC$ и $KE$. Так как точка $E$ лежит на отрезке $AK$, то угол $\angle CKE$ совпадает с углом $\angle CKA$.

Найдем величину угла $\angle CKA$ из треугольника $AKC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle CKA + \angle KAC + \angle ACK = 180^\circ$

Мы знаем, что $\angle KAC = \beta$ и $\angle ACK = 60^\circ$. Подставляем эти значения:

$\angle CKA + \beta + 60^\circ = 180^\circ$

$\angle CKA = 180^\circ - 60^\circ - \beta = 120^\circ - \beta$

Следовательно, $\angle CKE = 120^\circ - \beta$.

Теперь мы знаем два угла в треугольнике $KEC$ и можем найти третий:

$\angle KEC + \angle KCE + \angle CKE = 180^\circ$

$\angle KEC + \beta + (120^\circ - \beta) = 180^\circ$

$\angle KEC + 120^\circ = 180^\circ$

$\angle KEC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.