Номер 208, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

208. Диагональ параллелограмма равна 9 см и перпендикулярна его стороне. Другая сторона параллелограмма равна $\sqrt{117}$ см (рис. 194). Найдите площадь параллелограмма.

Пусть в параллелограмме одна сторона равна $a$, другая $b$, а диагональ, перпендикулярная стороне $a$, равна $d$. Согласно условию задачи и рисунку (рис. 194), имеем:

• Диагональ $d = 9$ см.
• Другая сторона $b = \sqrt{117}$ см.

Диагональ ($d$), сторона, к которой она перпендикулярна ($a$), и другая сторона ($b$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• Катеты — это сторона $a$ и диагональ $d$.
• Гипотенуза — это сторона $b$.

Применим теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:$a^2 + d^2 = b^2$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину стороны $a$:$a^2 + 9^2 = (\sqrt{117})^2$$a^2 + 81 = 117$$a^2 = 117 - 81$$a^2 = 36$$a = \sqrt{36} = 6$ см.

Итак, мы нашли длину стороны, к которой перпендикулярна диагональ. Она равна 6 см.

Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется по формуле произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. В данном случае в качестве основания мы можем взять сторону $a$. Поскольку диагональ $d$ по условию перпендикулярна стороне $a$, она и является высотой параллелограмма.

$S = a \cdot d$

Подставим значения $a$ и $d$:$S = 6 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 54 \text{ см}^2$.

Ответ: $54 \text{ см}^2$