Номер 212, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

212. Найдите площадь треугольника со сторонами:

а) 6 см, 8 см, 10 см;

б) 1,6 дм, 3 дм, 3,4 дм;

в) $\sqrt{2}$ м, $\sqrt{8}$ м, $\sqrt{10}$ м.

Для нахождения площади треугольника, когда известны все три его стороны, можно использовать формулу Герона. Однако, сначала целесообразно проверить, не является ли треугольник прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора. Если для сторон треугольника $a, b, c$ (где $c$ — наибольшая сторона) выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$, то треугольник является прямоугольным. В этом случае его площадь легко найти как половину произведения катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.

Пусть стороны треугольника равны $a=6$ см, $b=8$ см и $c=10$ см. Проверим, выполняется ли для них равенство $a^2 + b^2 = c^2$.

Сумма квадратов двух меньших сторон: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.

Квадрат наибольшей стороны: $10^2 = 100$.

Так как $6^2 + 8^2 = 10^2$, треугольник является прямоугольным. Его катеты равны 6 см и 8 см.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

Ответ: 24 см².

Для сторон треугольника $a=1,6$ дм, $b=3$ дм и $c=3,4$ дм проверим выполнение теоремы, обратной теореме Пифагора. Наибольшая сторона $c=3,4$ дм.

Сумма квадратов меньших сторон: $(1,6)^2 + 3^2 = 2,56 + 9 = 11,56$.

Квадрат наибольшей стороны: $(3,4)^2 = 11,56$.

Так как $(1,6)^2 + 3^2 = (3,4)^2$, треугольник является прямоугольным. Его катеты равны 1,6 дм и 3 дм.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S = \frac{1}{2} \cdot 1,6 \cdot 3 = 0,8 \cdot 3 = 2,4$ дм².

Ответ: 2,4 дм².

Даны стороны треугольника $a=\sqrt{2}$ м, $b=\sqrt{8}$ м, $c=\sqrt{10}$ м. Проверим выполнение теоремы, обратной теореме Пифагора.

Квадраты сторон равны: $a^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$; $b^2 = (\sqrt{8})^2 = 8$; $c^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$.

Сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом наибольшей: $a^2 + b^2 = 2 + 8 = 10$.

Так как $a^2+b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным. Его катеты равны $\sqrt{2}$ м и $\sqrt{8}$ м.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{16} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ м².

Ответ: 2 м².