Номер 216, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

216. $ABCD$ — трапеция (рис. 197). Найдите:

Рис. 197

а) высоту трапеции;

Дана трапеция ABCD. Поскольку боковые стороны $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD = 13$), трапеция является равнобокой. Основания трапеции: $BC = 11$ и $AD = 21$.

Для нахождения высоты проведем из вершин B и C перпендикуляры $BH$ и $CK$ к основанию AD. Эти перпендикуляры являются высотами трапеции, поэтому $BH = CK$.

Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$. Следовательно, $HK = BC = 11$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$. Они равны по гипотенузе и катету ($AB = DC$ как боковые стороны равнобокой трапеции, $BH = CK$ как высоты). Из равенства треугольников следует, что их катеты $AH$ и $KD$ также равны: $AH = KD$.

Длину отрезков $AH$ и $KD$ можно найти из длины основания AD: $AD = AH + HK + KD$. Поскольку $AH = KD$, можно записать: $AD = 2 \cdot AH + HK$. Подставим известные значения: $21 = 2 \cdot AH + 11$. $2 \cdot AH = 21 - 11 = 10$. $AH = 10 / 2 = 5$.

Теперь найдем высоту $BH$ из прямоугольного треугольника $\triangle ABH$ по теореме Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2$. $13^2 = 5^2 + BH^2$. $169 = 25 + BH^2$. $BH^2 = 169 - 25 = 144$. $BH = \sqrt{144} = 12$.

Высота трапеции равна 12.

Ответ: 12.

б) диагональ AC.

Для нахождения длины диагонали AC рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACK$. Гипотенузой этого треугольника является диагональ $AC$, а катетами — высота $CK$ и отрезок $AK$.

Из пункта а) мы знаем, что высота $CK = BH = 12$.

Длина отрезка $AK$ складывается из длин отрезков $AH$ и $HK$: $AK = AH + HK$. Из пункта а) мы знаем, что $AH = 5$ и $HK = 11$. $AK = 5 + 11 = 16$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle ACK$: $AC^2 = AK^2 + CK^2$. Подставим значения катетов: $AC^2 = 16^2 + 12^2$. $AC^2 = 256 + 144$. $AC^2 = 400$. $AC = \sqrt{400} = 20$.

Длина диагонали AC равна 20.

Ответ: 20.