Номер 222, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

222. Дан отрезок $a$. Используя циркуль и линейку, постройте отрезок $x$, равный $a\sqrt{2}$.

Для построения отрезка $x$, равного $a\sqrt{2}$, воспользуемся теоремой Пифагора. Если мы построим прямоугольный треугольник, у которого оба катета равны данному отрезку $a$, то его гипотенуза $x$ будет равна: $x = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Следовательно, задача сводится к построению такого прямоугольного треугольника.

Алгоритм построения:

1. С помощью линейки проведём произвольную прямую $l$ и отметим на ней точку $A$.
2. Построим прямую $m$, перпендикулярную прямой $l$ и проходящую через точку $A$. Для этого циркулем проведём окружность с центром в точке $A$ произвольного радиуса, которая пересечёт прямую $l$ в двух точках (назовём их $P_1$ и $P_2$). Затем из точек $P_1$ и $P_2$ проведём две дуги одинакового радиуса (большего, чем $AP_1$) так, чтобы они пересеклись в точке $B$. Прямая $m$, проведённая через точки $A$ и $B$, будет перпендикулярна прямой $l$.
3. С помощью циркуля измерим длину данного отрезка $a$.
4. Установив острие циркуля в точку $A$, отложим на прямой $l$ отрезок $AC$, равный $a$.
5. Не меняя раствора циркуля, установим его острие в точку $A$ и отложим на перпендикулярной прямой $m$ отрезок $AD$, равный $a$.
6. Соединим точки $C$ и $D$ с помощью линейки.

В результате мы получили прямоугольный треугольник $ACD$ с прямым углом $A$ и катетами $AC = a$ и $AD = a$. Гипотенуза $CD$ этого треугольника и есть искомый отрезок $x$. Её длина, согласно теореме Пифагора, равна $a\sqrt{2}$.

Ответ: Построенный отрезок $CD$ является искомым отрезком $x$, равным $a\sqrt{2}$.