Номер 215, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

215. a) Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 21 м, а гипотенуза — 15 м. Найдите катеты.

б) Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см больше другого катета и на 2 см меньше гипотенузы. Найдите площадь треугольника.

а)Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Из условия задачи мы имеем:
$a + b = 21$ (сумма катетов)
$c = 15$ (гипотенуза)
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим значение гипотенузы в теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = 15^2 = 225$.
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $a + b = 21$
2) $a^2 + b^2 = 225$
Из первого уравнения выразим $b$ через $a$: $b = 21 - a$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$a^2 + (21 - a)^2 = 225$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$a^2 + (21^2 - 2 \cdot 21 \cdot a + a^2) = 225$
$a^2 + 441 - 42a + a^2 = 225$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2a^2 - 42a + 441 - 225 = 0$
$2a^2 - 42a + 216 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$a^2 - 21a + 108 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант. Найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$:
$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 441 - 432 = 9$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:
$a_1 = \frac{-(-21) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{21 + 3}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$a_2 = \frac{-(-21) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{21 - 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$
Эти два корня являются длинами катетов. Если катет $a = 12$ м, то катет $b = 21 - 12 = 9$ м. Если $a = 9$ м, то $b = 21 - 9 = 12$ м. В любом случае, длины катетов — 9 м и 12 м.
Проверка: $9 + 12 = 21$ (сумма катетов), $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$ (теорема Пифагора). Все условия выполнены.
Ответ: катеты равны 9 м и 12 м.

б)Пусть один из катетов ($k_1$) на 2 см больше другого катета ($k_2$) и на 2 см меньше гипотенузы ($c$). Обозначим длину катета $k_1$ через $x$ см. Тогда, исходя из условия, имеем:
- Другой катет: $k_2 = x - 2$ см.
- Гипотенуза: $c = x + 2$ см.
Применим теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$k_1^2 + k_2^2 = c^2$
Подставим наши выражения для сторон:
$x^2 + (x - 2)^2 = (x + 2)^2$
Раскроем скобки:
$x^2 + (x^2 - 4x + 4) = x^2 + 4x + 4$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 - 4x + 4 = x^2 + 4x + 4$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$2x^2 - x^2 - 4x - 4x + 4 - 4 = 0$
$x^2 - 8x = 0$
Решим это неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:
$x(x - 8) = 0$
Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$. Корень $x = 0$ не является решением задачи, так как длина катета не может быть равна нулю. Следовательно, катет $k_1 = x = 8$ см.
Найдем длины двух других сторон:
- Второй катет: $k_2 = x - 2 = 8 - 2 = 6$ см.
- Гипотенуза: $c = x + 2 = 8 + 2 = 10$ см.
Таким образом, мы получили египетский треугольник со сторонами 6, 8, 10 см. Проверка: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$.
Теперь найдем площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot k_1 \cdot k_2$
$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = \frac{48}{2} = 24$ см$^2$.
Ответ: площадь треугольника равна 24 см$^2$.