Номер 221, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

221. Медианы треугольника $ABC$, проведенные к сторонам $AB$ и $BC$, взаимно перпендикулярны и равны 9 см и 12 см. Найдите длину третьей медианы.

Пусть в треугольнике $ABC$ медианы, проведенные к сторонам $BC$ и $AB$, — это $m_a = AD$ и $m_c = CF$ соответственно. Пусть точка $G$ — точка их пересечения (центроид треугольника). По условию задачи, эти медианы взаимно перпендикулярны, а их длины равны 9 см и 12 см. Пусть $m_a = 9$ см и $m_c = 12$ см.

Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Используя это свойство, найдем длины отрезков, на которые центроид $G$ делит медианы $AD$ и $CF$:

$AG = \frac{2}{3} m_a = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см

$CG = \frac{2}{3} m_c = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см

Поскольку медианы $AD$ и $CF$ перпендикулярны, угол $\angle AGC$ равен $90^\circ$. Таким образом, треугольник $AGC$ является прямоугольным с катетами $AG$ и $CG$ и гипотенузой $AC$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $AGC$, чтобы найти длину стороны $AC$:

$AC^2 = AG^2 + CG^2$

$AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$AC = \sqrt{100} = 10$ см.

Третья медиана, длину которой нужно найти, проведена к стороне $AC$. Обозначим ее $m_b = BE$, где $E$ — середина стороны $AC$.

Точка $E$ является серединой гипотенузы $AC$ в прямоугольном треугольнике $AGC$. Отрезок $GE$ соединяет вершину прямого угла $G$ и середину гипотенузы $E$. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, ее длина равна половине длины гипотенузы:

$GE = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Так как $G$ — центроид треугольника $ABC$, отрезок $GE$ является частью медианы $BE$ и составляет одну треть ее длины:

$GE = \frac{1}{3} BE = \frac{1}{3} m_b$

Приравнивая полученные значения для $GE$, найдем длину третьей медианы $m_b$:

$\frac{1}{3} m_b = 5$

$m_b = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Ответ: 15 см.