Номер 223, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

223. Найдите площадь треугольника $ABC$, у которого $AB = 6 \text{ см}$, $BC = 8 \text{ см}$, медиана $BM = 5 \text{ см}$.

Для решения задачи необходимо найти площадь треугольника $ABC$. Мы знаем длины двух сторон ($AB=6$ см, $BC=8$ см) и длину медианы, проведенной к третьей стороне ($BM=5$ см). Мы можем найти длину третьей стороны $AC$, а затем вычислить площадь треугольника.

Воспользуемся формулой для длины медианы треугольника. Формула, связывающая длину медианы $m_b$, проведенной к стороне $b$, с длинами сторон $a$ и $c$, выглядит следующим образом:

$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

В нашем случае, $a = BC = 8$ см, $c = AB = 6$ см, медиана $m_b = BM = 5$ см, а искомая сторона — это $b = AC$. Подставим известные значения в формулу:

$5^2 = \frac{2 \cdot 8^2 + 2 \cdot 6^2 - AC^2}{4}$

Выполним вычисления в числителе:

$25 = \frac{2 \cdot 64 + 2 \cdot 36 - AC^2}{4}$

$25 = \frac{128 + 72 - AC^2}{4}$

$25 = \frac{200 - AC^2}{4}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $AC$. Умножим обе части уравнения на 4:

$100 = 200 - AC^2$

Выразим $AC^2$:

$AC^2 = 200 - 100$

$AC^2 = 100$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, извлекаем квадратный корень:

$AC = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь, когда известны длины всех трех сторон треугольника ($AB=6$ см, $BC=8$ см и $AC=10$ см), можно найти его площадь. Для этого проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора. Если сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей, то треугольник прямоугольный.

Сравним сумму квадратов сторон $AB$ и $BC$ с квадратом стороны $AC$:

$AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$AC^2 = 10^2 = 100$

Поскольку $AB^2 + BC^2 = AC^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Стороны $AB$ и $BC$ — это его катеты.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$

Подставим значения длин катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{48}{2} = 24$ см$^2$.

Ответ: $24 \text{ см}^2$.