Номер 227, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

227. Даны отрезки $m$ и $n$, где $m > n$. При помощи циркуля и линейки постройте отрезок $x$, если:

а) $x = \sqrt{m^2 + n^2}$;

б) $x = \sqrt{m^2 - n^2}$.

а) Равенство $x = \sqrt{m^2 + n^2}$ эквивалентно равенству $x^2 = m^2 + n^2$. Согласно теореме Пифагора, искомый отрезок x является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны m и n. Следовательно, задача сводится к построению такого треугольника.

Алгоритм построения:
1. С помощью линейки проведём произвольную прямую и отметим на ней точку A.
2. Построим прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через точку A. Таким образом, мы получим прямой угол с вершиной в точке A.
3. На одной стороне прямого угла от точки A отложим с помощью циркуля отрезок AB, равный по длине отрезку m.
4. На другой стороне прямого угла от точки A отложим с помощью циркуля отрезок AC, равный по длине отрезку n.
5. Соединим точки B и C с помощью линейки.

В построенном прямоугольном треугольнике ABC катеты AB и AC равны m и n соответственно. По теореме Пифагора, длина гипотенузы BC вычисляется как $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{m^2 + n^2}$.

Ответ: Построенный отрезок BC является искомым отрезком x.

б) Равенство $x = \sqrt{m^2 - n^2}$ эквивалентно равенству $x^2 = m^2 - n^2$, или $m^2 = x^2 + n^2$. Согласно теореме Пифагора, данный отрезок m является гипотенузой прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен n, а второй катет — искомый отрезок x. Следовательно, задача сводится к построению такого треугольника.

Алгоритм построения:
1. С помощью линейки проведём произвольную прямую и отметим на ней точку A.
2. Построим прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через точку A. Таким образом, мы получим прямой угол с вершиной в точке A.
3. На одной из сторон прямого угла от точки A отложим с помощью циркуля отрезок AC, равный по длине отрезку n.
4. Из точки C как из центра проведём циркулем дугу окружности радиусом, равным отрезку m.
5. Эта дуга пересечёт вторую сторону прямого угла в точке B. Точка пересечения существует, так как по условию m > n, то есть длина гипотенузы больше длины катета.
6. Соединим точки A и B.

В построенном прямоугольном треугольнике ABC (с прямым углом при вершине A) катет AC равен n, а гипотенуза BC равна m. По теореме Пифагора, длина второго катета AB вычисляется как $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{m^2 - n^2}$.

Ответ: Построенный отрезок AB является искомым отрезком x.