Номер 225, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

225. По гипотенузе прямоугольного треугольника со сторонами 12 см, 16 см, 20 см перемещается точка. Найдите, при каком положении точки сумма квадратов расстояний от этой точки до катетов будет наименьшей. Определите расстояние от этого положения точки до вершины прямого угла.

Найдите, при каком положении точки сумма квадратов расстояний от этой точки до катетов будет наименьшей.

Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами 12 см, 16 см и 20 см. Убедимся, что он прямоугольный, с помощью теоремы Пифагора: $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$, и $20^2 = 400$. Равенство выполняется, следовательно, катеты треугольника равны $a=12$ см и $b=16$ см, а гипотенуза $c=20$ см.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Расположим вершину прямого угла $C$ в начале координат $(0, 0)$, катет $b$ (длиной 16 см) вдоль оси $Ox$, а катет $a$ (длиной 12 см) — вдоль оси $Oy$. Тогда вершины треугольника будут иметь координаты: $C(0, 0)$, $A(16, 0)$ и $B(0, 12)$.

Пусть $P(x, y)$ — точка, которая перемещается по гипотенузе $AB$. Расстояние от точки $P$ до катета $AC$ (который лежит на оси $Ox$) равно ее ординате $y$. Расстояние от точки $P$ до катета $BC$ (который лежит на оси $Oy$) равно ее абсциссе $x$.

Нам необходимо найти такое положение точки $P$, при котором сумма квадратов этих расстояний, то есть величина $S = x^2 + y^2$, будет наименьшей.

Выражение $\sqrt{x^2 + y^2}$ — это формула расстояния от точки $P(x, y)$ до начала координат $C(0, 0)$. Таким образом, $S = (CP)^2$. Минимизировать сумму квадратов $S$ равносильно минимизации расстояния $CP$ от точки на гипотенузе до вершины прямого угла.

Кратчайшее расстояние от точки (вершина $C$) до прямой (гипотенуза $AB$) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Следовательно, искомая точка $P$ является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$.

Положение этой точки на гипотенузе можно однозначно описать, найдя длины отрезков, на которые высота делит гипотенузу. Пусть $P$ — это основание высоты $CP$. Отрезки, на которые точка $P$ делит гипотенузу, — это $AP$ и $BP$.

Воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

$AC^2 = AP \cdot AB \implies 16^2 = AP \cdot 20 \implies 256 = 20 \cdot AP \implies AP = \frac{256}{20} = 12,8$ см.

$BC^2 = BP \cdot AB \implies 12^2 = BP \cdot 20 \implies 144 = 20 \cdot BP \implies BP = \frac{144}{20} = 7,2$ см.

Проверим: $AP + BP = 12,8 + 7,2 = 20$ см, что совпадает с длиной гипотенузы.

Ответ: Сумма квадратов расстояний будет наименьшей, когда точка является основанием высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. Эта точка делит гипотенузу на отрезки 7,2 см и 12,8 см.

Определите расстояние от этого положения точки до вершины прямого угла.

Как было установлено в предыдущем пункте, искомое положение точки $P$ — это основание высоты, проведенной из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу. Следовательно, расстояние от этой точки до вершины прямого угла — это и есть длина этой высоты $h = CP$.

Длину высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, можно найти, вычислив площадь треугольника двумя способами.

1. Через катеты:$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ см$^2$.

2. Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней:$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h = 10h$.

Приравнивая два выражения для площади, получим:$10h = 96$$h = \frac{96}{10} = 9,6$ см.

Таким образом, расстояние от искомой точки на гипотенузе до вершины прямого угла равно 9,6 см.

Ответ: 9,6 см.