Геометрия 3D, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Геометрия 3D

На рисунке 201 изображена прямая треугольная призма, основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными по 4 см, и развертка этой призмы. Большая по площади боковая грань призмы является квадратом.

Изготовьте из плотной бумаги указанную развертку и сложите из нее данную призму. Скрепите соединяемые края полосками бумаги.

Найдите площадь боковой поверхности призмы (она равна сумме площадей боковых граней). Найдите площадь основания призмы. Чему равна площадь всей поверхности призмы (полная поверхность призмы)?

Рис. 201

Для решения задачи определим все размеры призмы, исходя из данных условия.

В основании призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $a = 4$ см и $b = 4$ см. Найдем длину третьей стороны основания — гипотенузы $c$ — по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Таким образом, стороны основания призмы равны 4 см, 4 см и $4\sqrt{2}$ см.

Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Одна из сторон каждой боковой грани равна высоте призмы $h$, а другие стороны равны сторонам основания (4 см, 4 см и $4\sqrt{2}$ см).

По условию, большая по площади боковая грань является квадратом. Большая грань соответствует самой длинной стороне основания, то есть гипотенузе. Следовательно, эта грань имеет размеры $4\sqrt{2} \times h$. Поскольку эта грань является квадратом, ее стороны должны быть равны. Отсюда находим высоту призмы:

$h = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная все размеры призмы, мы можем рассчитать требуемые площади.

Найдите площадь боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) — это сумма площадей трех боковых граней. Также ее можно найти по формуле $S_{бок} = P_{осн} \times h$, где $P_{осн}$ — периметр основания.

Периметр основания: $P_{осн} = 4 + 4 + 4\sqrt{2} = 8 + 4\sqrt{2}$ см.

Высота призмы: $h = 4\sqrt{2}$ см.

Вычисляем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \times h = (8 + 4\sqrt{2}) \times 4\sqrt{2} = 8 \times 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} = 32\sqrt{2} + 16 \times 2 = 32\sqrt{2} + 32$ см².

Ответ: Площадь боковой поверхности призмы равна $32 + 32\sqrt{2}$ см².

Найдите площадь основания призмы

Основание призмы — это прямоугольный треугольник с катетами по 4 см. Его площадь ($S_{осн}$) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = \frac{16}{2} = 8$ см².

Ответ: Площадь основания призмы равна 8 см².

Чему равна площадь всей поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) — это сумма площади боковой поверхности и двух площадей основания.

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \times S_{осн}$

$S_{полн} = (32 + 32\sqrt{2}) + 2 \times 8 = 32 + 32\sqrt{2} + 16 = 48 + 32\sqrt{2}$ см².

Ответ: Площадь всей поверхности призмы равна $48 + 32\sqrt{2}$ см².