Номер 230, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

230. Найдите площадь равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковой стороной, равной 17 см, и основаниями 10 см и 26 см.

Для нахождения площади равнобедренной трапеции воспользуемся формулой: $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

По условию задачи нам даны:
- большее основание $a = 26$ см;
- меньшее основание $b = 10$ см;
- боковая сторона $c = 17$ см.

Для вычисления площади нам необходимо найти высоту $h$. Проведем из вершин меньшего основания $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$. В равнобедренной трапеции эти высоты отсекают на большем основании два равных отрезка $AH$ и $KD$.

Длину этих отрезков можно найти по формуле:
$AH = KD = \frac{a-b}{2}$
$AH = \frac{26 - 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем:
- гипотенуза $AB$ — это боковая сторона трапеции, равная 17 см.
- катет $AH$ равен 8 см.
- катет $BH$ — это высота трапеции $h$.

По теореме Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$) найдем высоту $h$:
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$h^2 = BH^2 = AB^2 - AH^2 = 17^2 - 8^2$
$h^2 = 289 - 64 = 225$
$h = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь, когда мы знаем высоту, можем вычислить площадь трапеции:
$S = \frac{26 + 10}{2} \cdot 15 = \frac{36}{2} \cdot 15 = 18 \cdot 15 = 270$ см².

Ответ: 270 см².